Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12046 / 12830
↖ ↑ ↗
← S 70.830248°
E 84.682617°		 ← 802.27 m → S 70.830248°
E 84.704590°		 →
↑
802.17 m
↓
↑
802.17 m
↓
S 70.837462°
E 84.682617°		 ← 801.98 m →
643 445 m²		 S 70.837462°
E 84.704590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735260009765625 y=0.783111572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735260009765625 × 214)
    floor (0.735260009765625 × 16384)
    floor (12046.5)     		tx = 12046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783111572265625 × 214)
    floor (0.783111572265625 × 16384)
    floor (12830.5)     		ty = 12830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12046 / 12830 ti = "14/12046/12830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12046/12830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12046 ÷ 214
    12046 ÷ 16384     		x = 0.7352294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12830 ÷ 214
    12830 ÷ 16384     		y = 0.7830810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7352294921875 × 2 - 1) × π
    0.470458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.47799049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7830810546875 × 2 - 1) × π
    -0.566162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77865072350256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47799049} λ = 1.47799049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77865072350256))-π/2
    2×atan(0.168865840333183)-π/2
    2×0.167287647886237-π/2
    0.334575295772473-1.57079632675     		φ = -1.23622103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47799049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.682617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23622103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.830248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12046 KachelY 12830 1.47799049 -1.23622103 84.682617 -70.830248
    Oben rechts KachelX + 1 12047 KachelY 12830 1.47837398 -1.23622103 84.704590 -70.830248
    Unten links KachelX 12046 KachelY + 1 12831 1.47799049 -1.23634694 84.682617 -70.837462
    Unten rechts KachelX + 1 12047 KachelY + 1 12831 1.47837398 -1.23634694 84.704590 -70.837462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23622103--1.23634694) × R
    0.000125909999999951 × 6371000     		dl = 802.17260999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23622103--1.23634694) × R
    0.000125909999999951 × 6371000     		dr = 802.17260999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47799049-1.47837398) × cos(-1.23622103) × R
    0.000383489999999931 × 0.328368046150018 × 6371000     		do = 802.273666916981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47799049-1.47837398) × cos(-1.23634694) × R
    0.000383489999999931 × 0.32824911527538 × 6371000     		du = 801.983093245078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23622103)-sin(-1.23634694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328368046150018-0.32824911527538)×R²
    abs(1.47837398-1.47799049)×0.000118930874637824×R²
    0.000383489999999931×0.000118930874637824×6371000²
    0.000383489999999931×0.000118930874637824×40589641000000     		ar = 643445.417054459m²