Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120448 / 120192
↖ ↑ ↗
← S 81.672424°
E150.820312°		 ← 44.24 m → S 81.672424°
E150.823059°		 →
↑
44.21 m
↓
↑
44.21 m
↓
S 81.672822°
E150.820312°		 ← 44.23 m →
1 956 m²		 S 81.672822°
E150.823059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.918949127197266 y=0.916996002197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.918949127197266 × 217)
    floor (0.918949127197266 × 131072)
    floor (120448.5)     		tx = 120448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916996002197266 × 217)
    floor (0.916996002197266 × 131072)
    floor (120192.5)     		ty = 120192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120448 / 120192 ti = "17/120448/120192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120448/120192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120448 ÷ 217
    120448 ÷ 131072     		x = 0.9189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120192 ÷ 217
    120192 ÷ 131072     		y = 0.9169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9189453125 × 2 - 1) × π
    0.837890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.63231103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9169921875 × 2 - 1) × π
    -0.833984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.62003918563379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63231103} λ = 2.63231103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62003918563379))-π/2
    2×atan(0.0728000100570082)-π/2
    2×0.0726718079772022-π/2
    0.145343615954404-1.57079632675     		φ = -1.42545271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63231103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.820312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42545271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.672424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120448 KachelY 120192 2.63231103 -1.42545271 150.820312 -81.672424
    Oben rechts KachelX + 1 120449 KachelY 120192 2.63235897 -1.42545271 150.823059 -81.672424
    Unten links KachelX 120448 KachelY + 1 120193 2.63231103 -1.42545965 150.820312 -81.672822
    Unten rechts KachelX + 1 120449 KachelY + 1 120193 2.63235897 -1.42545965 150.823059 -81.672822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42545271--1.42545965) × R
    6.94000000001083e-06 × 6371000     		dl = 44.214740000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42545271--1.42545965) × R
    6.94000000001083e-06 × 6371000     		dr = 44.214740000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63231103-2.63235897) × cos(-1.42545271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144832432021451 × 6371000     		do = 44.2355527261224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63231103-2.63235897) × cos(-1.42545965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.144825565191953 × 6371000     		du = 44.2334554196416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42545271)-sin(-1.42545965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144832432021451-0.144825565191953)×R²
    abs(2.63235897-2.63231103)×6.86682949796458e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.86682949796458e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.86682949796458e-06×40589641000000     		ar = 1955.81709654503m²