Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12042 / 13598
↖ ↑ ↗
← N 29.248063°
W 47.702637°		 ← 1 065.84 m → N 29.248063°
W 47.691651°		 →
↑
1 065.93 m
↓
↑
1 065.93 m
↓
N 29.238477°
W 47.702637°		 ← 1 065.94 m →
1 136 166 m²		 N 29.238477°
W 47.691651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367507934570312 y=0.414993286132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367507934570312 × 215)
    floor (0.367507934570312 × 32768)
    floor (12042.5)     		tx = 12042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414993286132812 × 215)
    floor (0.414993286132812 × 32768)
    floor (13598.5)     		ty = 13598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12042 / 13598 ti = "15/12042/13598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12042/13598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12042 ÷ 215
    12042 ÷ 32768     		x = 0.36749267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13598 ÷ 215
    13598 ÷ 32768     		y = 0.41497802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36749267578125 × 2 - 1) × π
    -0.2650146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83256807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41497802734375 × 2 - 1) × π
    0.1700439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.534208809365906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83256807} λ = -0.83256807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.534208809365906))-π/2
    2×atan(1.70609785947229)-π/2
    2×1.04063566510868-π/2
    2.08127133021736-1.57079632675     		φ = 0.51047500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83256807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.702637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51047500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.248063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12042 KachelY 13598 -0.83256807 0.51047500 -47.702637 29.248063
    Oben rechts KachelX + 1 12043 KachelY 13598 -0.83237633 0.51047500 -47.691651 29.248063
    Unten links KachelX 12042 KachelY + 1 13599 -0.83256807 0.51030769 -47.702637 29.238477
    Unten rechts KachelX + 1 12043 KachelY + 1 13599 -0.83237633 0.51030769 -47.691651 29.238477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51047500-0.51030769) × R
    0.000167310000000032 × 6371000     		dl = 1065.9320100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51047500-0.51030769) × R
    0.000167310000000032 × 6371000     		dr = 1065.9320100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83256807--0.83237633) × cos(0.51047500) × R
    0.000191739999999996 × 0.872512525005714 × 6371000     		do = 1065.83995889059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83256807--0.83237633) × cos(0.51030769) × R
    0.000191739999999996 × 0.872594259078299 × 6371000     		du = 1065.93980323445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51047500)-sin(0.51030769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872512525005714-0.872594259078299)×R²
    abs(-0.83237633--0.83256807)×8.1734072584827e-05×R²
    0.000191739999999996×8.1734072584827e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.1734072584827e-05×40589641000000     		ar = 1136166.14601042m²