Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120412 / 119630
↖ ↑ ↗
← S 81.445858°
E150.721435°		 ← 45.43 m → S 81.445858°
E150.724182°		 →
↑
45.43 m
↓
↑
45.43 m
↓
S 81.446267°
E150.721435°		 ← 45.43 m →
2 064 m²		 S 81.446267°
E150.724182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.918674468994141 y=0.912708282470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.918674468994141 × 217)
    floor (0.918674468994141 × 131072)
    floor (120412.5)     		tx = 120412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912708282470703 × 217)
    floor (0.912708282470703 × 131072)
    floor (119630.5)     		ty = 119630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120412 / 119630 ti = "17/120412/119630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120412/119630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120412 ÷ 217
    120412 ÷ 131072     		x = 0.918670654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119630 ÷ 217
    119630 ÷ 131072     		y = 0.912704467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.918670654296875 × 2 - 1) × π
    0.83734130859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.63058530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912704467773438 × 2 - 1) × π
    -0.825408935546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.59309864804732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63058530} λ = 2.63058530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59309864804732))-π/2
    2×atan(0.0747879391698432)-π/2
    2×0.0746489697185376-π/2
    0.149297939437075-1.57079632675     		φ = -1.42149839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63058530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.721435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42149839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.445858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120412 KachelY 119630 2.63058530 -1.42149839 150.721435 -81.445858
    Oben rechts KachelX + 1 120413 KachelY 119630 2.63063324 -1.42149839 150.724182 -81.445858
    Unten links KachelX 120412 KachelY + 1 119631 2.63058530 -1.42150552 150.721435 -81.446267
    Unten rechts KachelX + 1 120413 KachelY + 1 119631 2.63063324 -1.42150552 150.724182 -81.446267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42149839--1.42150552) × R
    7.12999999996633e-06 × 6371000     		dl = 45.4252299997855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42149839--1.42150552) × R
    7.12999999996633e-06 × 6371000     		dr = 45.4252299997855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63058530-2.63063324) × cos(-1.42149839) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148743915910052 × 6371000     		do = 45.4302205872956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63058530-2.63063324) × cos(-1.42150552) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148736865222179 × 6371000     		du = 45.4280671257345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42149839)-sin(-1.42150552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148743915910052-0.148736865222179)×R²
    abs(2.63063324-2.63058530)×7.05068787298924e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.05068787298924e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.05068787298924e-06×40589641000000     		ar = 2063.6293083947m²