Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120411 / 119629
↖ ↑ ↗
← S 81.445450°
E150.718689°		 ← 45.42 m → S 81.445450°
E150.721435°		 →
↑
45.43 m
↓
↑
45.43 m
↓
S 81.445858°
E150.718689°		 ← 45.42 m →
2 063 m²		 S 81.445858°
E150.721435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.918666839599609 y=0.912700653076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.918666839599609 × 217)
    floor (0.918666839599609 × 131072)
    floor (120411.5)     		tx = 120411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912700653076172 × 217)
    floor (0.912700653076172 × 131072)
    floor (119629.5)     		ty = 119629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120411 / 119629 ti = "17/120411/119629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120411/119629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120411 ÷ 217
    120411 ÷ 131072     		x = 0.918663024902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119629 ÷ 217
    119629 ÷ 131072     		y = 0.912696838378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.918663024902344 × 2 - 1) × π
    0.837326049804688 × 3.1415926535     		Λ = 2.63053737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912696838378906 × 2 - 1) × π
    -0.825393676757812 × 3.1415926535     		Φ = -2.5930507111477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63053737} λ = 2.63053737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5930507111477))-π/2
    2×atan(0.0747915243577067)-π/2
    2×0.0746525349641854-π/2
    0.149305069928371-1.57079632675     		φ = -1.42149126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63053737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.718689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42149126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.445450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120411 KachelY 119629 2.63053737 -1.42149126 150.718689 -81.445450
    Oben rechts KachelX + 1 120412 KachelY 119629 2.63058530 -1.42149126 150.721435 -81.445450
    Unten links KachelX 120411 KachelY + 1 119630 2.63053737 -1.42149839 150.718689 -81.445858
    Unten rechts KachelX + 1 120412 KachelY + 1 119630 2.63058530 -1.42149839 150.721435 -81.445858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42149126--1.42149839) × R
    7.12999999996633e-06 × 6371000     		dl = 45.4252299997855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42149126--1.42149839) × R
    7.12999999996633e-06 × 6371000     		dr = 45.4252299997855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63053737-2.63058530) × cos(-1.42149126) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148750966590363 × 6371000     		do = 45.4228971225233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63053737-2.63058530) × cos(-1.42149839) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148743915910052 × 6371000     		du = 45.4207441124705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42149126)-sin(-1.42149839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148750966590363-0.148743915910052)×R²
    abs(2.63058530-2.63053737)×7.05068031131573e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.05068031131573e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.05068031131573e-06×40589641000000     		ar = 2063.29664851m²