Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120400 / 119635
↖ ↑ ↗
← S 81.447900°
E150.688477°		 ← 45.42 m → S 81.447900°
E150.691223°		 →
↑
45.43 m
↓
↑
45.43 m
↓
S 81.448309°
E150.688477°		 ← 45.42 m →
2 063 m²		 S 81.448309°
E150.691223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.918582916259766 y=0.912746429443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.918582916259766 × 217)
    floor (0.918582916259766 × 131072)
    floor (120400.5)     		tx = 120400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912746429443359 × 217)
    floor (0.912746429443359 × 131072)
    floor (119635.5)     		ty = 119635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120400 / 119635 ti = "17/120400/119635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120400/119635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120400 ÷ 217
    120400 ÷ 131072     		x = 0.9185791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119635 ÷ 217
    119635 ÷ 131072     		y = 0.912742614746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9185791015625 × 2 - 1) × π
    0.837158203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.63001006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912742614746094 × 2 - 1) × π
    -0.825485229492188 × 3.1415926535     		Φ = -2.59333833254542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63001006} λ = 2.63001006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59333833254542))-π/2
    2×atan(0.0747700158082411)-π/2
    2×0.0746311460251662-π/2
    0.149262292050332-1.57079632675     		φ = -1.42153403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63001006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.688477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42153403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.447900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120400 KachelY 119635 2.63001006 -1.42153403 150.688477 -81.447900
    Oben rechts KachelX + 1 120401 KachelY 119635 2.63005800 -1.42153403 150.691223 -81.447900
    Unten links KachelX 120400 KachelY + 1 119636 2.63001006 -1.42154116 150.688477 -81.448309
    Unten rechts KachelX + 1 120401 KachelY + 1 119636 2.63005800 -1.42154116 150.691223 -81.448309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42153403--1.42154116) × R
    7.13000000018837e-06 × 6371000     		dl = 45.4252300012001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42153403--1.42154116) × R
    7.13000000018837e-06 × 6371000     		dr = 45.4252300012001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63001006-2.63005800) × cos(-1.42153403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148708672283888 × 6371000     		do = 45.4194562766941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63001006-2.63005800) × cos(-1.42154116) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148701621558222 × 6371000     		du = 45.4173028035902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42153403)-sin(-1.42154116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148708672283888-0.148701621558222)×R²
    abs(2.63005800-2.63001006)×7.05072566564713e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.05072566564713e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.05072566564713e-06×40589641000000     		ar = 2063.14033680101m²