Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12040 / 14088
↖ ↑ ↗
← N 24.447149°
W 47.724610°		 ← 1 112.11 m → N 24.447149°
W 47.713623°		 →
↑
1 112.12 m
↓
↑
1 112.12 m
↓
N 24.437148°
W 47.724610°		 ← 1 112.20 m →
1 236 852 m²		 N 24.437148°
W 47.713623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367446899414062 y=0.429946899414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367446899414062 × 215)
    floor (0.367446899414062 × 32768)
    floor (12040.5)     		tx = 12040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429946899414062 × 215)
    floor (0.429946899414062 × 32768)
    floor (14088.5)     		ty = 14088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12040 / 14088 ti = "15/12040/14088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12040/14088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12040 ÷ 215
    12040 ÷ 32768     		x = 0.367431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14088 ÷ 215
    14088 ÷ 32768     		y = 0.429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367431640625 × 2 - 1) × π
    -0.26513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83295157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429931640625 × 2 - 1) × π
    0.14013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.440252486110596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83295157} λ = -0.83295157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.440252486110596))-π/2
    2×atan(1.55309930501395)-π/2
    2×0.998739789925913-π/2
    1.99747957985183-1.57079632675     		φ = 0.42668325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83295157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.724610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42668325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.447149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12040 KachelY 14088 -0.83295157 0.42668325 -47.724610 24.447149
    Oben rechts KachelX + 1 12041 KachelY 14088 -0.83275982 0.42668325 -47.713623 24.447149
    Unten links KachelX 12040 KachelY + 1 14089 -0.83295157 0.42650869 -47.724610 24.437148
    Unten rechts KachelX + 1 12041 KachelY + 1 14089 -0.83275982 0.42650869 -47.713623 24.437148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42668325-0.42650869) × R
    0.00017455999999999 × 6371000     		dl = 1112.12175999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42668325-0.42650869) × R
    0.00017455999999999 × 6371000     		dr = 1112.12175999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83295157--0.83275982) × cos(0.42668325) × R
    0.000191749999999935 × 0.910343403689266 × 6371000     		do = 1112.11123292503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83295157--0.83275982) × cos(0.42650869) × R
    0.000191749999999935 × 0.910415632121643 × 6371000     		du = 1112.19947001298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42668325)-sin(0.42650869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910343403689266-0.910415632121643)×R²
    abs(-0.83275982--0.83295157)×7.22284323769751e-05×R²
    0.000191749999999935×7.22284323769751e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.22284323769751e-05×40589641000000     		ar = 1236852.17000971m²