Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1204 / 403
↖ ↑ ↗
← N 83.262255°
W127.089844°		 ← 573.31 m → N 83.262255°
W127.045899°		 →
↑
573.52 m
↓
↑
573.52 m
↓
N 83.257097°
W127.089844°		 ← 573.74 m →
328 927 m²		 N 83.257097°
W127.045899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14703369140625 y=0.04925537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14703369140625 × 213)
    floor (0.14703369140625 × 8192)
    floor (1204.5)     		tx = 1204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.04925537109375 × 213)
    floor (0.04925537109375 × 8192)
    floor (403.5)     		ty = 403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1204 / 403 ti = "13/1204/403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1204/403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1204 ÷ 213
    1204 ÷ 8192     		x = 0.14697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 403 ÷ 213
    403 ÷ 8192     		y = 0.0491943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14697265625 × 2 - 1) × π
    -0.7060546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.21813622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0491943359375 × 2 - 1) × π
    0.901611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.83249552474988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.21813622} λ = -2.21813622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.83249552474988))-π/2
    2×atan(16.9878014504932)-π/2
    2×1.51199841001445-π/2
    3.0239968200289-1.57079632675     		φ = 1.45320049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.21813622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.089844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45320049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.262255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1204 KachelY 403 -2.21813622 1.45320049 -127.089844 83.262255
    Oben rechts KachelX + 1 1205 KachelY 403 -2.21736923 1.45320049 -127.045899 83.262255
    Unten links KachelX 1204 KachelY + 1 404 -2.21813622 1.45311047 -127.089844 83.257097
    Unten rechts KachelX + 1 1205 KachelY + 1 404 -2.21736923 1.45311047 -127.045899 83.257097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45320049-1.45311047) × R
    9.0020000000024e-05 × 6371000     		dl = 573.517420000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45320049-1.45311047) × R
    9.0020000000024e-05 × 6371000     		dr = 573.517420000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.21813622--2.21736923) × cos(1.45320049) × R
    0.000766989999999801 × 0.11732498962809 × 6371000     		do = 573.307774566834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.21813622--2.21736923) × cos(1.45311047) × R
    0.000766989999999801 × 0.117414387436128 × 6371000     		du = 573.744616355949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45320049)-sin(1.45311047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.11732498962809-0.117414387436128)×R²
    abs(-2.21736923--2.21813622)×8.93978080373642e-05×R²
    0.000766989999999801×8.93978080373642e-05×6371000²
    0.000766989999999801×8.93978080373642e-05×40589641000000     		ar = 328927.26414386m²