Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120380 / 119749
↖ ↑ ↗
← S 81.494337°
E150.633545°		 ← 45.17 m → S 81.494337°
E150.636292°		 →
↑
45.17 m
↓
↑
45.17 m
↓
S 81.494744°
E150.633545°		 ← 45.17 m →
2 041 m²		 S 81.494744°
E150.636292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.918430328369141 y=0.913616180419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.918430328369141 × 217)
    floor (0.918430328369141 × 131072)
    floor (120380.5)     		tx = 120380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913616180419922 × 217)
    floor (0.913616180419922 × 131072)
    floor (119749.5)     		ty = 119749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120380 / 119749 ti = "17/120380/119749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120380/119749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120380 ÷ 217
    120380 ÷ 131072     		x = 0.918426513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119749 ÷ 217
    119749 ÷ 131072     		y = 0.913612365722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.918426513671875 × 2 - 1) × π
    0.83685302734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.62905132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913612365722656 × 2 - 1) × π
    -0.827224731445312 × 3.1415926535     		Φ = -2.5988031391021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62905132} λ = 2.62905132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5988031391021))-π/2
    2×atan(0.0743625265746346)-π/2
    2×0.0742259099617499-π/2
    0.1484518199235-1.57079632675     		φ = -1.42234451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62905132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.633545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42234451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.494337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120380 KachelY 119749 2.62905132 -1.42234451 150.633545 -81.494337
    Oben rechts KachelX + 1 120381 KachelY 119749 2.62909926 -1.42234451 150.636292 -81.494337
    Unten links KachelX 120380 KachelY + 1 119750 2.62905132 -1.42235160 150.633545 -81.494744
    Unten rechts KachelX + 1 120381 KachelY + 1 119750 2.62909926 -1.42235160 150.636292 -81.494744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42234451--1.42235160) × R
    7.08999999998738e-06 × 6371000     		dl = 45.1703899999196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42234451--1.42235160) × R
    7.08999999998738e-06 × 6371000     		dr = 45.1703899999196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62905132-2.62909926) × cos(-1.42234451) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147907155216623 × 6371000     		do = 45.1746523333023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62905132-2.62909926) × cos(-1.42235160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14790014319404 × 6371000     		du = 45.1725106811159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42234451)-sin(-1.42235160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147907155216623-0.14790014319404)×R²
    abs(2.62909926-2.62905132)×7.01202258329703e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.01202258329703e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.01202258329703e-06×40589641000000     		ar = 2040.50829421091m²