Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12038 / 15130
↖ ↑ ↗
← N 13.645987°
W 47.746582°		 ← 1 187.09 m → N 13.645987°
W 47.735596°		 →
↑
1 187.17 m
↓
↑
1 187.17 m
↓
N 13.635310°
W 47.746582°		 ← 1 187.15 m →
1 409 315 m²		 N 13.635310°
W 47.735596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367385864257812 y=0.461746215820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367385864257812 × 215)
    floor (0.367385864257812 × 32768)
    floor (12038.5)     		tx = 12038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461746215820312 × 215)
    floor (0.461746215820312 × 32768)
    floor (15130.5)     		ty = 15130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12038 / 15130 ti = "15/12038/15130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12038/15130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12038 ÷ 215
    12038 ÷ 32768     		x = 0.36737060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15130 ÷ 215
    15130 ÷ 32768     		y = 0.46173095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36737060546875 × 2 - 1) × π
    -0.2652587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83333506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46173095703125 × 2 - 1) × π
    0.0765380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.240451488494202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83333506} λ = -0.83333506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240451488494202))-π/2
    2×atan(1.27182323427244)-π/2
    2×0.904481863195763-π/2
    1.80896372639153-1.57079632675     		φ = 0.23816740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83333506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.746582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23816740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.645987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12038 KachelY 15130 -0.83333506 0.23816740 -47.746582 13.645987
    Oben rechts KachelX + 1 12039 KachelY 15130 -0.83314332 0.23816740 -47.735596 13.645987
    Unten links KachelX 12038 KachelY + 1 15131 -0.83333506 0.23798106 -47.746582 13.635310
    Unten rechts KachelX + 1 12039 KachelY + 1 15131 -0.83314332 0.23798106 -47.735596 13.635310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23816740-0.23798106) × R
    0.000186340000000007 × 6371000     		dl = 1187.17214000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23816740-0.23798106) × R
    0.000186340000000007 × 6371000     		dr = 1187.17214000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83333506--0.83314332) × cos(0.23816740) × R
    0.000191739999999996 × 0.971771957360066 × 6371000     		do = 1187.09285356895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83333506--0.83314332) × cos(0.23798106) × R
    0.000191739999999996 × 0.971815902222821 × 6371000     		du = 1187.1465355384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23816740)-sin(0.23798106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971771957360066-0.971815902222821)×R²
    abs(-0.83314332--0.83333506)×4.39448627551631e-05×R²
    0.000191739999999996×4.39448627551631e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.39448627551631e-05×40589641000000     		ar = 1409315.43229748m²