Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120379 / 119745
↖ ↑ ↗
← S 81.492712°
E150.630799°		 ← 45.17 m → S 81.492712°
E150.633545°		 →
↑
45.17 m
↓
↑
45.17 m
↓
S 81.493118°
E150.630799°		 ← 45.17 m →
2 040 m²		 S 81.493118°
E150.633545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.918422698974609 y=0.913585662841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.918422698974609 × 217)
    floor (0.918422698974609 × 131072)
    floor (120379.5)     		tx = 120379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913585662841797 × 217)
    floor (0.913585662841797 × 131072)
    floor (119745.5)     		ty = 119745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120379 / 119745 ti = "17/120379/119745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120379/119745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120379 ÷ 217
    120379 ÷ 131072     		x = 0.918418884277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119745 ÷ 217
    119745 ÷ 131072     		y = 0.913581848144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.918418884277344 × 2 - 1) × π
    0.836837768554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.62900339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913581848144531 × 2 - 1) × π
    -0.827163696289062 × 3.1415926535     		Φ = -2.59861139150362
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62900339} λ = 2.62900339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59861139150362))-π/2
    2×atan(0.0743767867776583)-π/2
    2×0.0742400917276127-π/2
    0.148480183455225-1.57079632675     		φ = -1.42231614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62900339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.630799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42231614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.492712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120379 KachelY 119745 2.62900339 -1.42231614 150.630799 -81.492712
    Oben rechts KachelX + 1 120380 KachelY 119745 2.62905132 -1.42231614 150.633545 -81.492712
    Unten links KachelX 120379 KachelY + 1 119746 2.62900339 -1.42232323 150.630799 -81.493118
    Unten rechts KachelX + 1 120380 KachelY + 1 119746 2.62905132 -1.42232323 150.633545 -81.493118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42231614--1.42232323) × R
    7.08999999998738e-06 × 6371000     		dl = 45.1703899999196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42231614--1.42232323) × R
    7.08999999998738e-06 × 6371000     		dr = 45.1703899999196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62900339-2.62905132) × cos(-1.42231614) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147935213122573 × 6371000     		do = 45.1737969876192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62900339-2.62905132) × cos(-1.42232323) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147928201129742 × 6371000     		du = 45.1716557912541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42231614)-sin(-1.42232323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147935213122573-0.147928201129742)×R²
    abs(2.62905132-2.62900339)×7.01199283062448e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.01199283062448e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.01199283062448e-06×40589641000000     		ar = 2040.4696681903m²