Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120376 / 119740
↖ ↑ ↗
← S 81.490680°
E150.622559°		 ← 45.18 m → S 81.490680°
E150.625305°		 →
↑
45.17 m
↓
↑
45.17 m
↓
S 81.491086°
E150.622559°		 ← 45.18 m →
2 041 m²		 S 81.491086°
E150.625305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.918399810791016 y=0.913547515869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.918399810791016 × 217)
    floor (0.918399810791016 × 131072)
    floor (120376.5)     		tx = 120376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913547515869141 × 217)
    floor (0.913547515869141 × 131072)
    floor (119740.5)     		ty = 119740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120376 / 119740 ti = "17/120376/119740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120376/119740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120376 ÷ 217
    120376 ÷ 131072     		x = 0.91839599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119740 ÷ 217
    119740 ÷ 131072     		y = 0.913543701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91839599609375 × 2 - 1) × π
    0.8367919921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.62885958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913543701171875 × 2 - 1) × π
    -0.82708740234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.59837170700552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62885958} λ = 2.62885958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59837170700552))-π/2
    2×atan(0.0743946158770615)-π/2
    2×0.0742578227173258-π/2
    0.148515645434652-1.57079632675     		φ = -1.42228068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62885958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.622559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42228068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.490680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120376 KachelY 119740 2.62885958 -1.42228068 150.622559 -81.490680
    Oben rechts KachelX + 1 120377 KachelY 119740 2.62890751 -1.42228068 150.625305 -81.490680
    Unten links KachelX 120376 KachelY + 1 119741 2.62885958 -1.42228777 150.622559 -81.491086
    Unten rechts KachelX + 1 120377 KachelY + 1 119741 2.62890751 -1.42228777 150.625305 -81.491086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42228068--1.42228777) × R
    7.08999999998738e-06 × 6371000     		dl = 45.1703899999196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42228068--1.42228777) × R
    7.08999999998738e-06 × 6371000     		dr = 45.1703899999196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62885958-2.62890751) × cos(-1.42228068) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147970282865091 × 6371000     		do = 45.184505955386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62885958-2.62890751) × cos(-1.42228777) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147963270909456 × 6371000     		du = 45.1823647703792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42228068)-sin(-1.42228777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147970282865091-0.147963270909456)×R²
    abs(2.62890751-2.62885958)×7.01195563451718e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.01195563451718e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.01195563451718e-06×40589641000000     		ar = 2040.95339680261m²