Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120376 / 119732
↖ ↑ ↗
← S 81.487428°
E150.622559°		 ← 45.20 m → S 81.487428°
E150.625305°		 →
↑
45.23 m
↓
↑
45.23 m
↓
S 81.487835°
E150.622559°		 ← 45.20 m →
2 045 m²		 S 81.487835°
E150.625305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.918399810791016 y=0.913486480712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.918399810791016 × 217)
    floor (0.918399810791016 × 131072)
    floor (120376.5)     		tx = 120376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913486480712891 × 217)
    floor (0.913486480712891 × 131072)
    floor (119732.5)     		ty = 119732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120376 / 119732 ti = "17/120376/119732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120376/119732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120376 ÷ 217
    120376 ÷ 131072     		x = 0.91839599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119732 ÷ 217
    119732 ÷ 131072     		y = 0.913482666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91839599609375 × 2 - 1) × π
    0.8367919921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.62885958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913482666015625 × 2 - 1) × π
    -0.82696533203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59798821180856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62885958} λ = 2.62885958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59798821180856))-π/2
    2×atan(0.0744231513261842)-π/2
    2×0.0742862010446735-π/2
    0.148572402089347-1.57079632675     		φ = -1.42222392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62885958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.622559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42222392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.487428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120376 KachelY 119732 2.62885958 -1.42222392 150.622559 -81.487428
    Oben rechts KachelX + 1 120377 KachelY 119732 2.62890751 -1.42222392 150.625305 -81.487428
    Unten links KachelX 120376 KachelY + 1 119733 2.62885958 -1.42223102 150.622559 -81.487835
    Unten rechts KachelX + 1 120377 KachelY + 1 119733 2.62890751 -1.42223102 150.625305 -81.487835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42222392--1.42223102) × R
    7.09999999992661e-06 × 6371000     		dl = 45.2340999995324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42222392--1.42223102) × R
    7.09999999992661e-06 × 6371000     		dr = 45.2340999995324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62885958-2.62890751) × cos(-1.42222392) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148026417801699 × 6371000     		do = 45.2016474335827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62885958-2.62890751) × cos(-1.42223102) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148019396015778 × 6371000     		du = 45.1995032467794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42222392)-sin(-1.42223102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148026417801699-0.148019396015778)×R²
    abs(2.62890751-2.62885958)×7.02178592168479e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.02178592168479e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.02178592168479e-06×40589641000000     		ar = 2044.60734494557m²