Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120375 / 119739
↖ ↑ ↗
← S 81.490274°
E150.619812°		 ← 45.20 m → S 81.490274°
E150.622559°		 →
↑
45.17 m
↓
↑
45.17 m
↓
S 81.490680°
E150.619812°		 ← 45.19 m →
2 041 m²		 S 81.490680°
E150.622559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.918392181396484 y=0.913539886474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.918392181396484 × 217)
    floor (0.918392181396484 × 131072)
    floor (120375.5)     		tx = 120375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913539886474609 × 217)
    floor (0.913539886474609 × 131072)
    floor (119739.5)     		ty = 119739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120375 / 119739 ti = "17/120375/119739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120375/119739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120375 ÷ 217
    120375 ÷ 131072     		x = 0.918388366699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119739 ÷ 217
    119739 ÷ 131072     		y = 0.913536071777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.918388366699219 × 2 - 1) × π
    0.836776733398438 × 3.1415926535     		Λ = 2.62881164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913536071777344 × 2 - 1) × π
    -0.827072143554688 × 3.1415926535     		Φ = -2.5983237701059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62881164} λ = 2.62881164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5983237701059))-π/2
    2×atan(0.0743981822097738)-π/2
    2×0.0742613694196642-π/2
    0.148522738839328-1.57079632675     		φ = -1.42227359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62881164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.619812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42227359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.490274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120375 KachelY 119739 2.62881164 -1.42227359 150.619812 -81.490274
    Oben rechts KachelX + 1 120376 KachelY 119739 2.62885958 -1.42227359 150.622559 -81.490274
    Unten links KachelX 120375 KachelY + 1 119740 2.62881164 -1.42228068 150.619812 -81.490680
    Unten rechts KachelX + 1 120376 KachelY + 1 119740 2.62885958 -1.42228068 150.622559 -81.490680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42227359--1.42228068) × R
    7.08999999998738e-06 × 6371000     		dl = 45.1703899999196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42227359--1.42228068) × R
    7.08999999998738e-06 × 6371000     		dr = 45.1703899999196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62881164-2.62885958) × cos(-1.42227359) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147977294813287 × 6371000     		do = 45.1960747715168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62881164-2.62885958) × cos(-1.42228068) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147970282865091 × 6371000     		du = 45.1939331420501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42227359)-sin(-1.42228068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147977294813287-0.147970282865091)×R²
    abs(2.62885958-2.62881164)×7.01194819632822e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.01194819632822e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.01194819632822e-06×40589641000000     		ar = 2041.47595479573m²