Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120373 / 119743
↖ ↑ ↗
← S 81.491900°
E150.614319°		 ← 45.19 m → S 81.491900°
E150.617065°		 →
↑
45.17 m
↓
↑
45.17 m
↓
S 81.492306°
E150.614319°		 ← 45.19 m →
2 041 m²		 S 81.492306°
E150.617065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.918376922607422 y=0.913570404052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.918376922607422 × 217)
    floor (0.918376922607422 × 131072)
    floor (120373.5)     		tx = 120373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913570404052734 × 217)
    floor (0.913570404052734 × 131072)
    floor (119743.5)     		ty = 119743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120373 / 119743 ti = "17/120373/119743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120373/119743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120373 ÷ 217
    120373 ÷ 131072     		x = 0.918373107910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119743 ÷ 217
    119743 ÷ 131072     		y = 0.913566589355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.918373107910156 × 2 - 1) × π
    0.836746215820312 × 3.1415926535     		Λ = 2.62871576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913566589355469 × 2 - 1) × π
    -0.827133178710938 × 3.1415926535     		Φ = -2.59851551770438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62871576} λ = 2.62871576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59851551770438))-π/2
    2×atan(0.0743839179046207)-π/2
    2×0.0742471836191333-π/2
    0.148494367238267-1.57079632675     		φ = -1.42230196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62871576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.614319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42230196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.491900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120373 KachelY 119743 2.62871576 -1.42230196 150.614319 -81.491900
    Oben rechts KachelX + 1 120374 KachelY 119743 2.62876370 -1.42230196 150.617065 -81.491900
    Unten links KachelX 120373 KachelY + 1 119744 2.62871576 -1.42230905 150.614319 -81.492306
    Unten rechts KachelX + 1 120374 KachelY + 1 119744 2.62876370 -1.42230905 150.617065 -81.492306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42230196--1.42230905) × R
    7.08999999998738e-06 × 6371000     		dl = 45.1703899999196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42230196--1.42230905) × R
    7.08999999998738e-06 × 6371000     		dr = 45.1703899999196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62871576-2.62876370) × cos(-1.42230196) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147949237085925 × 6371000     		do = 45.1875052193744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62871576-2.62876370) × cos(-1.42230905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.147942225107967 × 6371000     		du = 45.1853635808179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42230196)-sin(-1.42230905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147949237085925-0.147942225107967)×R²
    abs(2.62876370-2.62871576)×7.01197795743846e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.01197795743846e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.01197795743846e-06×40589641000000     		ar = 2041.08886472406m²