Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120372 / 119720
↖ ↑ ↗
← S 81.482548°
E150.611572°		 ← 45.23 m → S 81.482548°
E150.614319°		 →
↑
45.23 m
↓
↑
45.23 m
↓
S 81.482955°
E150.611572°		 ← 45.23 m →
2 046 m²		 S 81.482955°
E150.614319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.918369293212891 y=0.913394927978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.918369293212891 × 217)
    floor (0.918369293212891 × 131072)
    floor (120372.5)     		tx = 120372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913394927978516 × 217)
    floor (0.913394927978516 × 131072)
    floor (119720.5)     		ty = 119720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120372 / 119720 ti = "17/120372/119720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120372/119720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120372 ÷ 217
    120372 ÷ 131072     		x = 0.918365478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119720 ÷ 217
    119720 ÷ 131072     		y = 0.91339111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.918365478515625 × 2 - 1) × π
    0.83673095703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.62866783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.8267822265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.59741296901312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62866783} λ = 2.62866783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59741296901312))-π/2
    2×atan(0.0744659750236294)-π/2
    2×0.0743287887215061-π/2
    0.148657577443012-1.57079632675     		φ = -1.42213875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62866783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.611572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42213875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.482548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120372 KachelY 119720 2.62866783 -1.42213875 150.611572 -81.482548
    Oben rechts KachelX + 1 120373 KachelY 119720 2.62871576 -1.42213875 150.614319 -81.482548
    Unten links KachelX 120372 KachelY + 1 119721 2.62866783 -1.42214585 150.611572 -81.482955
    Unten rechts KachelX + 1 120373 KachelY + 1 119721 2.62871576 -1.42214585 150.614319 -81.482955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42213875--1.42214585) × R
    7.09999999992661e-06 × 6371000     		dl = 45.2340999995324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42213875--1.42214585) × R
    7.09999999992661e-06 × 6371000     		dr = 45.2340999995324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62866783-2.62871576) × cos(-1.42213875) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148110648981498 × 6371000     		do = 45.2273684376355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62866783-2.62871576) × cos(-1.42214585) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148103627285113 × 6371000     		du = 45.2252242781731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42213875)-sin(-1.42214585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148110648981498-0.148103627285113)×R²
    abs(2.62871576-2.62866783)×7.02169638572281e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.02169638572281e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.02169638572281e-06×40589641000000     		ar = 2045.77081209722m²