Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120369 / 119667
↖ ↑ ↗
← S 81.460961°
E150.603333°		 ← 45.34 m → S 81.460961°
E150.606079°		 →
↑
45.36 m
↓
↑
45.36 m
↓
S 81.461369°
E150.603333°		 ← 45.34 m →
2 057 m²		 S 81.461369°
E150.606079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.918346405029297 y=0.912990570068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.918346405029297 × 217)
    floor (0.918346405029297 × 131072)
    floor (120369.5)     		tx = 120369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912990570068359 × 217)
    floor (0.912990570068359 × 131072)
    floor (119667.5)     		ty = 119667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120369 / 119667 ti = "17/120369/119667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120369/119667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120369 ÷ 217
    120369 ÷ 131072     		x = 0.918342590332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119667 ÷ 217
    119667 ÷ 131072     		y = 0.912986755371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.918342590332031 × 2 - 1) × π
    0.836685180664062 × 3.1415926535     		Λ = 2.62852402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912986755371094 × 2 - 1) × π
    -0.825973510742188 × 3.1415926535     		Φ = -2.59487231333326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62852402} λ = 2.62852402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59487231333326))-π/2
    2×atan(0.0746554079660722)-π/2
    2×0.0745171743716717-π/2
    0.149034348743343-1.57079632675     		φ = -1.42176198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62852402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.603333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42176198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.460961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120369 KachelY 119667 2.62852402 -1.42176198 150.603333 -81.460961
    Oben rechts KachelX + 1 120370 KachelY 119667 2.62857195 -1.42176198 150.606079 -81.460961
    Unten links KachelX 120369 KachelY + 1 119668 2.62852402 -1.42176910 150.603333 -81.461369
    Unten rechts KachelX + 1 120370 KachelY + 1 119668 2.62857195 -1.42176910 150.606079 -81.461369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42176198--1.42176910) × R
    7.11999999980506e-06 × 6371000     		dl = 45.361519998758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42176198--1.42176910) × R
    7.11999999980506e-06 × 6371000     		dr = 45.361519998758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62852402-2.62857195) × cos(-1.42176198) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148483252986982 × 6371000     		do = 45.341147553136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62852402-2.62857195) × cos(-1.42176910) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148476211908971 × 6371000     		du = 45.3389974752614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42176198)-sin(-1.42176910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148483252986982-0.148476211908971)×R²
    abs(2.62857195-2.62852402)×7.04107801027809e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.04107801027809e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.04107801027809e-06×40589641000000     		ar = 2056.6946060677m²