Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120367 / 119663
↖ ↑ ↗
← S 81.459329°
E150.597839°		 ← 45.36 m → S 81.459329°
E150.600586°		 →
↑
45.36 m
↓
↑
45.36 m
↓
S 81.459737°
E150.597839°		 ← 45.36 m →
2 058 m²		 S 81.459737°
E150.600586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.918331146240234 y=0.912960052490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.918331146240234 × 217)
    floor (0.918331146240234 × 131072)
    floor (120367.5)     		tx = 120367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912960052490234 × 217)
    floor (0.912960052490234 × 131072)
    floor (119663.5)     		ty = 119663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120367 / 119663 ti = "17/120367/119663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120367/119663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120367 ÷ 217
    120367 ÷ 131072     		x = 0.918327331542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119663 ÷ 217
    119663 ÷ 131072     		y = 0.912956237792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.918327331542969 × 2 - 1) × π
    0.836654663085938 × 3.1415926535     		Λ = 2.62842814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912956237792969 × 2 - 1) × π
    -0.825912475585938 × 3.1415926535     		Φ = -2.59468056573478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62842814} λ = 2.62842814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59468056573478))-π/2
    2×atan(0.074669724333784)-π/2
    2×0.0745314113752242-π/2
    0.149062822750448-1.57079632675     		φ = -1.42173350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62842814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.597839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42173350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.459329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120367 KachelY 119663 2.62842814 -1.42173350 150.597839 -81.459329
    Oben rechts KachelX + 1 120368 KachelY 119663 2.62847608 -1.42173350 150.600586 -81.459329
    Unten links KachelX 120367 KachelY + 1 119664 2.62842814 -1.42174062 150.597839 -81.459737
    Unten rechts KachelX + 1 120368 KachelY + 1 119664 2.62847608 -1.42174062 150.600586 -81.459737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42173350--1.42174062) × R
    7.1200000000271e-06 × 6371000     		dl = 45.3615200001727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42173350--1.42174062) × R
    7.1200000000271e-06 × 6371000     		dr = 45.3615200001727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62842814-2.62847608) × cos(-1.42173350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148511417223747 × 6371000     		do = 45.3592095039821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62842814-2.62847608) × cos(-1.42174062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148504376175848 × 6371000     		du = 45.357058986717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42173350)-sin(-1.42174062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148511417223747-0.148504376175848)×R²
    abs(2.62847608-2.62842814)×7.04104789928106e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.04104789928106e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.04104789928106e-06×40589641000000     		ar = 2057.51391387995m²