Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120320 / 29185
↖ ↑ ↗
← N 70.139431°
E150.468750°		 ← 103.76 m → N 70.139431°
E150.471497°		 →
↑
103.78 m
↓
↑
103.78 m
↓
N 70.138498°
E150.468750°		 ← 103.77 m →
10 769 m²		 N 70.138498°
E150.471497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917972564697266 y=0.222667694091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917972564697266 × 217)
    floor (0.917972564697266 × 131072)
    floor (120320.5)     		tx = 120320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222667694091797 × 217)
    floor (0.222667694091797 × 131072)
    floor (29185.5)     		ty = 29185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120320 / 29185 ti = "17/120320/29185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120320/29185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120320 ÷ 217
    120320 ÷ 131072     		x = 0.91796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29185 ÷ 217
    29185 ÷ 131072     		y = 0.222663879394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91796875 × 2 - 1) × π
    0.8359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.62617511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222663879394531 × 2 - 1) × π
    0.554672241210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.74255423808866
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62617511} λ = 2.62617511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74255423808866))-π/2
    2×atan(5.71191439519095)-π/2
    2×1.39748016826246-π/2
    2.79496033652493-1.57079632675     		φ = 1.22416401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62617511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22416401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.139431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120320 KachelY 29185 2.62617511 1.22416401 150.468750 70.139431
    Oben rechts KachelX + 1 120321 KachelY 29185 2.62622305 1.22416401 150.471497 70.139431
    Unten links KachelX 120320 KachelY + 1 29186 2.62617511 1.22414772 150.468750 70.138498
    Unten rechts KachelX + 1 120321 KachelY + 1 29186 2.62622305 1.22414772 150.471497 70.138498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22416401-1.22414772) × R
    1.62900000000299e-05 × 6371000     		dl = 103.78359000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22416401-1.22414772) × R
    1.62900000000299e-05 × 6371000     		dr = 103.78359000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62617511-2.62622305) × cos(1.22416401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339732359276844 × 6371000     		do = 103.763007234008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62617511-2.62622305) × cos(1.22414772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339747680337672 × 6371000     		du = 103.767686680349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22416401)-sin(1.22414772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339732359276844-0.339747680337672)×R²
    abs(2.62622305-2.62617511)×1.53210608280219e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53210608280219e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53210608280219e-05×40589641000000     		ar = 10769.14022506m²