Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12032 / 15105
↖ ↑ ↗
← N 13.912740°
W 47.812500°		 ← 1 185.80 m → N 13.912740°
W 47.801514°		 →
↑
1 185.77 m
↓
↑
1 185.77 m
↓
N 13.902076°
W 47.812500°		 ← 1 185.85 m →
1 406 119 m²		 N 13.902076°
W 47.801514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367202758789062 y=0.460983276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367202758789062 × 215)
    floor (0.367202758789062 × 32768)
    floor (12032.5)     		tx = 12032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460983276367188 × 215)
    floor (0.460983276367188 × 32768)
    floor (15105.5)     		ty = 15105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12032 / 15105 ti = "15/12032/15105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12032/15105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12032 ÷ 215
    12032 ÷ 32768     		x = 0.3671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15105 ÷ 215
    15105 ÷ 32768     		y = 0.460968017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3671875 × 2 - 1) × π
    -0.265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83448555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460968017578125 × 2 - 1) × π
    0.07806396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.245245178456207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83448555} λ = -0.83448555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.245245178456207))-π/2
    2×atan(1.2779345968297)-π/2
    2×0.906809724936421-π/2
    1.81361944987284-1.57079632675     		φ = 0.24282312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83448555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24282312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.912740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12032 KachelY 15105 -0.83448555 0.24282312 -47.812500 13.912740
    Oben rechts KachelX + 1 12033 KachelY 15105 -0.83429380 0.24282312 -47.801514 13.912740
    Unten links KachelX 12032 KachelY + 1 15106 -0.83448555 0.24263700 -47.812500 13.902076
    Unten rechts KachelX + 1 12033 KachelY + 1 15106 -0.83429380 0.24263700 -47.801514 13.902076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24282312-0.24263700) × R
    0.000186120000000012 × 6371000     		dl = 1185.77052000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24282312-0.24263700) × R
    0.000186120000000012 × 6371000     		dr = 1185.77052000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83448555--0.83429380) × cos(0.24282312) × R
    0.000191750000000046 × 0.970663041922274 × 6371000     		do = 1185.80007053693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83448555--0.83429380) × cos(0.24263700) × R
    0.000191750000000046 × 0.970707776524611 × 6371000     		du = 1185.85472008298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24282312)-sin(0.24263700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970663041922274-0.970707776524611)×R²
    abs(-0.83429380--0.83448555)×4.47346023374484e-05×R²
    0.000191750000000046×4.47346023374484e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.47346023374484e-05×40589641000000     		ar = 1406119.1712262m²