Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12031 / 21251
↖ ↑ ↗
← S 47.062639°
W 47.823487°		 ← 832.18 m → S 47.062639°
W 47.812500°		 →
↑
832.12 m
↓
↑
832.12 m
↓
S 47.070122°
W 47.823487°		 ← 832.06 m →
692 421 m²		 S 47.070122°
W 47.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367172241210938 y=0.648544311523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367172241210938 × 215)
    floor (0.367172241210938 × 32768)
    floor (12031.5)     		tx = 12031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648544311523438 × 215)
    floor (0.648544311523438 × 32768)
    floor (21251.5)     		ty = 21251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12031 / 21251 ti = "15/12031/21251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12031/21251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12031 ÷ 215
    12031 ÷ 32768     		x = 0.367156982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21251 ÷ 215
    21251 ÷ 32768     		y = 0.648529052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367156982421875 × 2 - 1) × π
    -0.26568603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83467730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648529052734375 × 2 - 1) × π
    -0.29705810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.933235561803253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83467730} λ = -0.83467730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933235561803253))-π/2
    2×atan(0.393279170495176)-π/2
    2×0.374699165331042-π/2
    0.749398330662085-1.57079632675     		φ = -0.82139800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83467730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.823487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82139800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.062639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12031 KachelY 21251 -0.83467730 -0.82139800 -47.823487 -47.062639
    Oben rechts KachelX + 1 12032 KachelY 21251 -0.83448555 -0.82139800 -47.812500 -47.062639
    Unten links KachelX 12031 KachelY + 1 21252 -0.83467730 -0.82152861 -47.823487 -47.070122
    Unten rechts KachelX + 1 12032 KachelY + 1 21252 -0.83448555 -0.82152861 -47.812500 -47.070122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82139800--0.82152861) × R
    0.000130610000000031 × 6371000     		dl = 832.116310000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82139800--0.82152861) × R
    0.000130610000000031 × 6371000     		dr = 832.116310000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83467730--0.83448555) × cos(-0.82139800) × R
    0.000191749999999935 × 0.681198399082782 × 6371000     		do = 832.178701356409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83467730--0.83448555) × cos(-0.82152861) × R
    0.000191749999999935 × 0.681102773840653 × 6371000     		du = 832.061881807333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82139800)-sin(-0.82152861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681198399082782-0.681102773840653)×R²
    abs(-0.83448555--0.83467730)×9.56252421294712e-05×R²
    0.000191749999999935×9.56252421294712e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.56252421294712e-05×40589641000000     		ar = 692420.867491293m²