Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1203 / 930
↖ ↑ ↗
← N 16.299051°
E 31.464844°		 ← 18.760 km → N 16.299051°
E 31.640625°		 →
↑
18.769 km
↓
↑
18.769 km
↓
N 16.130262°
E 31.464844°		 ← 18.776 km →
352.256 km²		 N 16.130262°
E 31.640625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587646484375 y=0.454345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587646484375 × 211)
    floor (0.587646484375 × 2048)
    floor (1203.5)     		tx = 1203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.454345703125 × 211)
    floor (0.454345703125 × 2048)
    floor (930.5)     		ty = 930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1203 / 930 ti = "11/1203/930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1203/930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1203 ÷ 211
    1203 ÷ 2048     		x = 0.58740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 930 ÷ 211
    930 ÷ 2048     		y = 0.4541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58740234375 × 2 - 1) × π
    0.1748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.54916512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4541015625 × 2 - 1) × π
    0.091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.288388388114258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54916512} λ = 0.54916512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.288388388114258))-π/2
    2×atan(1.33427542021616)-π/2
    2×0.92763421597098-π/2
    1.85526843194196-1.57079632675     		φ = 0.28447211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54916512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.464844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28447211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.299051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1203 KachelY 930 0.54916512 0.28447211 31.464844 16.299051
    Oben rechts KachelX + 1 1204 KachelY 930 0.55223308 0.28447211 31.640625 16.299051
    Unten links KachelX 1203 KachelY + 1 931 0.54916512 0.28152618 31.464844 16.130262
    Unten rechts KachelX + 1 1204 KachelY + 1 931 0.55223308 0.28152618 31.640625 16.130262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28447211-0.28152618) × R
    0.00294592999999999 × 6371000     		dl = 18768.5200299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28447211-0.28152618) × R
    0.00294592999999999 × 6371000     		dr = 18768.5200299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54916512-0.55223308) × cos(0.28447211) × R
    0.00306796000000009 × 0.959809939144049 × 6371000     		do = 18760.4193092114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54916512-0.55223308) × cos(0.28152618) × R
    0.00306796000000009 × 0.96063255075363 × 6371000     		du = 18776.4980536533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28447211)-sin(0.28152618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.959809939144049-0.96063255075363)×R²
    abs(0.55223308-0.54916512)×0.000822611609580304×R²
    0.00306796000000009×0.000822611609580304×6371000²
    0.00306796000000009×0.000822611609580304×40589641000000     		ar = 352256447.449629m²