Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120288 / 119264
↖ ↑ ↗
← S 81.295029°
E150.380859°		 ← 46.22 m → S 81.295029°
E150.383606°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
S 81.295445°
E150.380859°		 ← 46.21 m →
2 138 m²		 S 81.295445°
E150.383606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917728424072266 y=0.909915924072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917728424072266 × 217)
    floor (0.917728424072266 × 131072)
    floor (120288.5)     		tx = 120288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909915924072266 × 217)
    floor (0.909915924072266 × 131072)
    floor (119264.5)     		ty = 119264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120288 / 119264 ti = "17/120288/119264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120288/119264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120288 ÷ 217
    120288 ÷ 131072     		x = 0.917724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119264 ÷ 217
    119264 ÷ 131072     		y = 0.909912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.917724609375 × 2 - 1) × π
    0.83544921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.62464113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909912109375 × 2 - 1) × π
    -0.81982421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57555374278638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62464113} λ = 2.62464113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57555374278638))-π/2
    2×atan(0.07611166484199)-π/2
    2×0.0759652023215346-π/2
    0.151930404643069-1.57079632675     		φ = -1.41886592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62464113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.380859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41886592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.295029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120288 KachelY 119264 2.62464113 -1.41886592 150.380859 -81.295029
    Oben rechts KachelX + 1 120289 KachelY 119264 2.62468906 -1.41886592 150.383606 -81.295029
    Unten links KachelX 120288 KachelY + 1 119265 2.62464113 -1.41887318 150.380859 -81.295445
    Unten rechts KachelX + 1 120289 KachelY + 1 119265 2.62468906 -1.41887318 150.383606 -81.295445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41886592--1.41887318) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dl = 46.2534600004105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41886592--1.41887318) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dr = 46.2534600004105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62464113-2.62468906) × cos(-1.41886592) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151346583257271 × 6371000     		do = 46.2154998970327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62464113-2.62468906) × cos(-1.41887318) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15133940688297 × 6371000     		du = 46.2133085048078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41886592)-sin(-1.41887318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151346583257271-0.15133940688297)×R²
    abs(2.62468906-2.62464113)×7.17637430192042e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.17637430192042e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.17637430192042e-06×40589641000000     		ar = 2137.57609611673m²