Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120259 / 119999
↖ ↑ ↗
← S 81.595298°
E150.301209°		 ← 44.63 m → S 81.595298°
E150.303955°		 →
↑
44.60 m
↓
↑
44.60 m
↓
S 81.595699°
E150.301209°		 ← 44.63 m →
1 990 m²		 S 81.595699°
E150.303955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917507171630859 y=0.915523529052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917507171630859 × 217)
    floor (0.917507171630859 × 131072)
    floor (120259.5)     		tx = 120259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915523529052734 × 217)
    floor (0.915523529052734 × 131072)
    floor (119999.5)     		ty = 119999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120259 / 119999 ti = "17/120259/119999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120259/119999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120259 ÷ 217
    120259 ÷ 131072     		x = 0.917503356933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119999 ÷ 217
    119999 ÷ 131072     		y = 0.915519714355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.917503356933594 × 2 - 1) × π
    0.835006713867188 × 3.1415926535     		Λ = 2.62325096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915519714355469 × 2 - 1) × π
    -0.831039428710938 × 3.1415926535     		Φ = -2.61078736400712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62325096} λ = 2.62325096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61078736400712))-π/2
    2×atan(0.0734766680976161)-π/2
    2×0.0733448656613103-π/2
    0.146689731322621-1.57079632675     		φ = -1.42410660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62325096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.301209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42410660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.595298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120259 KachelY 119999 2.62325096 -1.42410660 150.301209 -81.595298
    Oben rechts KachelX + 1 120260 KachelY 119999 2.62329889 -1.42410660 150.303955 -81.595298
    Unten links KachelX 120259 KachelY + 1 120000 2.62325096 -1.42411360 150.301209 -81.595699
    Unten rechts KachelX + 1 120260 KachelY + 1 120000 2.62329889 -1.42411360 150.303955 -81.595699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42410660--1.42411360) × R
    7.00000000009027e-06 × 6371000     		dl = 44.5970000005751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42410660--1.42411360) × R
    7.00000000009027e-06 × 6371000     		dr = 44.5970000005751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62325096-2.62329889) × cos(-1.42410660) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146164217282092 × 6371000     		do = 44.6330021026479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62325096-2.62329889) × cos(-1.42411360) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146157292456126 × 6371000     		du = 44.6308875237336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42410660)-sin(-1.42411360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146164217282092-0.146157292456126)×R²
    abs(2.62329889-2.62325096)×6.92482596562072e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.92482596562072e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.92482596562072e-06×40589641000000     		ar = 1990.45084276779m²