Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120251 / 120020
↖ ↑ ↗
← S 81.603724°
E150.279236°		 ← 44.60 m → S 81.603724°
E150.281982°		 →
↑
44.60 m
↓
↑
44.60 m
↓
S 81.604125°
E150.279236°		 ← 44.60 m →
1 989 m²		 S 81.604125°
E150.281982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917446136474609 y=0.915683746337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917446136474609 × 217)
    floor (0.917446136474609 × 131072)
    floor (120251.5)     		tx = 120251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915683746337891 × 217)
    floor (0.915683746337891 × 131072)
    floor (120020.5)     		ty = 120020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120251 / 120020 ti = "17/120251/120020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120251/120020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120251 ÷ 217
    120251 ÷ 131072     		x = 0.917442321777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120020 ÷ 217
    120020 ÷ 131072     		y = 0.915679931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.917442321777344 × 2 - 1) × π
    0.834884643554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.62286746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915679931640625 × 2 - 1) × π
    -0.83135986328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61179403889914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62286746} λ = 2.62286746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61179403889914))-π/2
    2×atan(0.0734027381986227)-π/2
    2×0.0732713323561423-π/2
    0.146542664712285-1.57079632675     		φ = -1.42425366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62286746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.279236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42425366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.603724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120251 KachelY 120020 2.62286746 -1.42425366 150.279236 -81.603724
    Oben rechts KachelX + 1 120252 KachelY 120020 2.62291540 -1.42425366 150.281982 -81.603724
    Unten links KachelX 120251 KachelY + 1 120021 2.62286746 -1.42426066 150.279236 -81.604125
    Unten rechts KachelX + 1 120252 KachelY + 1 120021 2.62291540 -1.42426066 150.281982 -81.604125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42425366--1.42426066) × R
    7.00000000009027e-06 × 6371000     		dl = 44.5970000005751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42425366--1.42426066) × R
    7.00000000009027e-06 × 6371000     		dr = 44.5970000005751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62286746-2.62291540) × cos(-1.42425366) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146018735076399 × 6371000     		do = 44.5978802145439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62286746-2.62291540) × cos(-1.42426066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146011810100047 × 6371000     		du = 44.5957651485172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42425366)-sin(-1.42426066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146018735076399-0.146011810100047)×R²
    abs(2.62291540-2.62286746)×6.92497635154665e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.92497635154665e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.92497635154665e-06×40589641000000     		ar = 1988.8845011148m²