Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120246 / 120016
↖ ↑ ↗
← S 81.602119°
E150.265503°		 ← 44.61 m → S 81.602119°
E150.268250°		 →
↑
44.60 m
↓
↑
44.60 m
↓
S 81.602520°
E150.265503°		 ← 44.60 m →
1 989 m²		 S 81.602520°
E150.268250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917407989501953 y=0.915653228759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917407989501953 × 217)
    floor (0.917407989501953 × 131072)
    floor (120246.5)     		tx = 120246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915653228759766 × 217)
    floor (0.915653228759766 × 131072)
    floor (120016.5)     		ty = 120016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120246 / 120016 ti = "17/120246/120016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120246/120016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120246 ÷ 217
    120246 ÷ 131072     		x = 0.917404174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120016 ÷ 217
    120016 ÷ 131072     		y = 0.9156494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.917404174804688 × 2 - 1) × π
    0.834808349609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.62262778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9156494140625 × 2 - 1) × π
    -0.831298828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61160229130066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62262778} λ = 2.62262778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61160229130066))-π/2
    2×atan(0.0734168143468849)-π/2
    2×0.0732853330547062-π/2
    0.146570666109412-1.57079632675     		φ = -1.42422566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62262778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.265503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42422566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.602119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120246 KachelY 120016 2.62262778 -1.42422566 150.265503 -81.602119
    Oben rechts KachelX + 1 120247 KachelY 120016 2.62267572 -1.42422566 150.268250 -81.602119
    Unten links KachelX 120246 KachelY + 1 120017 2.62262778 -1.42423266 150.265503 -81.602520
    Unten rechts KachelX + 1 120247 KachelY + 1 120017 2.62267572 -1.42423266 150.268250 -81.602520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42422566--1.42423266) × R
    6.99999999986822e-06 × 6371000     		dl = 44.5969999991604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42422566--1.42423266) × R
    6.99999999986822e-06 × 6371000     		dr = 44.5969999991604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62262778-2.62267572) × cos(-1.42422566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146046434910252 × 6371000     		do = 44.6063404567963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62262778-2.62267572) × cos(-1.42423266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146039509962523 × 6371000     		du = 44.6042253995116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42422566)-sin(-1.42423266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146046434910252-0.146039509962523)×R²
    abs(2.62267572-2.62262778)×6.9249477296085e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.9249477296085e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.9249477296085e-06×40589641000000     		ar = 1989.26180265522m²