Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12023 / 14074
↖ ↑ ↗
← N 24.587090°
W 47.911377°		 ← 1 110.87 m → N 24.587090°
W 47.900391°		 →
↑
1 110.91 m
↓
↑
1 110.91 m
↓
N 24.577100°
W 47.911377°		 ← 1 110.96 m →
1 234 131 m²		 N 24.577100°
W 47.900391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366928100585938 y=0.429519653320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366928100585938 × 215)
    floor (0.366928100585938 × 32768)
    floor (12023.5)     		tx = 12023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429519653320312 × 215)
    floor (0.429519653320312 × 32768)
    floor (14074.5)     		ty = 14074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12023 / 14074 ti = "15/12023/14074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12023/14074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12023 ÷ 215
    12023 ÷ 32768     		x = 0.366912841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14074 ÷ 215
    14074 ÷ 32768     		y = 0.42950439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366912841796875 × 2 - 1) × π
    -0.26617431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83621128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42950439453125 × 2 - 1) × π
    0.1409912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.442936952489319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83621128} λ = -0.83621128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.442936952489319))-π/2
    2×atan(1.5572741489881)-π/2
    2×0.999961003343941-π/2
    1.99992200668788-1.57079632675     		φ = 0.42912568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83621128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.911377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42912568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.587090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12023 KachelY 14074 -0.83621128 0.42912568 -47.911377 24.587090
    Oben rechts KachelX + 1 12024 KachelY 14074 -0.83601953 0.42912568 -47.900391 24.587090
    Unten links KachelX 12023 KachelY + 1 14075 -0.83621128 0.42895131 -47.911377 24.577100
    Unten rechts KachelX + 1 12024 KachelY + 1 14075 -0.83601953 0.42895131 -47.900391 24.577100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42912568-0.42895131) × R
    0.000174370000000035 × 6371000     		dl = 1110.91127000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42912568-0.42895131) × R
    0.000174370000000035 × 6371000     		dr = 1110.91127000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83621128--0.83601953) × cos(0.42912568) × R
    0.000191750000000046 × 0.909329880685624 × 6371000     		do = 1110.87307344364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83621128--0.83601953) × cos(0.42895131) × R
    0.000191750000000046 × 0.909402418018734 × 6371000     		du = 1110.96168789686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42912568)-sin(0.42895131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909329880685624-0.909402418018734)×R²
    abs(-0.83601953--0.83621128)×7.25373331101897e-05×R²
    0.000191750000000046×7.25373331101897e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.25373331101897e-05×40589641000000     		ar = 1234130.64135234m²