Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120224 / 119968
↖ ↑ ↗
← S 81.582843°
E150.205078°		 ← 44.70 m → S 81.582843°
E150.207825°		 →
↑
44.72 m
↓
↑
44.72 m
↓
S 81.583246°
E150.205078°		 ← 44.70 m →
1 999 m²		 S 81.583246°
E150.207825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917240142822266 y=0.915287017822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917240142822266 × 217)
    floor (0.917240142822266 × 131072)
    floor (120224.5)     		tx = 120224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915287017822266 × 217)
    floor (0.915287017822266 × 131072)
    floor (119968.5)     		ty = 119968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120224 / 119968 ti = "17/120224/119968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120224/119968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120224 ÷ 217
    120224 ÷ 131072     		x = 0.917236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119968 ÷ 217
    119968 ÷ 131072     		y = 0.915283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.917236328125 × 2 - 1) × π
    0.83447265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.62157317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915283203125 × 2 - 1) × π
    -0.83056640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.6093013201189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62157317} λ = 2.62157317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6093013201189))-π/2
    2×atan(0.0735859388216064)-π/2
    2×0.073453548751746-π/2
    0.146907097503492-1.57079632675     		φ = -1.42388923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62157317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.205078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42388923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.582843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120224 KachelY 119968 2.62157317 -1.42388923 150.205078 -81.582843
    Oben rechts KachelX + 1 120225 KachelY 119968 2.62162110 -1.42388923 150.207825 -81.582843
    Unten links KachelX 120224 KachelY + 1 119969 2.62157317 -1.42389625 150.205078 -81.583246
    Unten rechts KachelX + 1 120225 KachelY + 1 119969 2.62162110 -1.42389625 150.207825 -81.583246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42388923--1.42389625) × R
    7.02000000019076e-06 × 6371000     		dl = 44.7244200012153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42388923--1.42389625) × R
    7.02000000019076e-06 × 6371000     		dr = 44.7244200012153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62157317-2.62162110) × cos(-1.42388923) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146379249347537 × 6371000     		do = 44.6986647306674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62157317-2.62162110) × cos(-1.42389625) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.14637230495954 × 6371000     		du = 44.6965441782516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42388923)-sin(-1.42389625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146379249347537-0.14637230495954)×R²
    abs(2.62162110-2.62157317)×6.94438799681008e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.94438799681008e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.94438799681008e-06×40589641000000     		ar = 1999.07443460557m²