Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120223 / 119015
↖ ↑ ↗
← S 81.190910°
E150.202332°		 ← 46.77 m → S 81.190910°
E150.205078°		 →
↑
46.76 m
↓
↑
46.76 m
↓
S 81.191331°
E150.202332°		 ← 46.77 m →
2 187 m²		 S 81.191331°
E150.205078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917232513427734 y=0.908016204833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917232513427734 × 217)
    floor (0.917232513427734 × 131072)
    floor (120223.5)     		tx = 120223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908016204833984 × 217)
    floor (0.908016204833984 × 131072)
    floor (119015.5)     		ty = 119015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120223 / 119015 ti = "17/120223/119015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120223/119015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120223 ÷ 217
    120223 ÷ 131072     		x = 0.917228698730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119015 ÷ 217
    119015 ÷ 131072     		y = 0.908012390136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.917228698730469 × 2 - 1) × π
    0.834457397460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.62152523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908012390136719 × 2 - 1) × π
    -0.816024780273438 × 3.1415926535     		Φ = -2.56361745478098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62152523} λ = 2.62152523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56361745478098))-π/2
    2×atan(0.0770255992351424)-π/2
    2×0.0768738097100321-π/2
    0.153747619420064-1.57079632675     		φ = -1.41704871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62152523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.202332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41704871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.190910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120223 KachelY 119015 2.62152523 -1.41704871 150.202332 -81.190910
    Oben rechts KachelX + 1 120224 KachelY 119015 2.62157317 -1.41704871 150.205078 -81.190910
    Unten links KachelX 120223 KachelY + 1 119016 2.62152523 -1.41705605 150.202332 -81.191331
    Unten rechts KachelX + 1 120224 KachelY + 1 119016 2.62157317 -1.41705605 150.205078 -81.191331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41704871--1.41705605) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dl = 46.7631400001423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41704871--1.41705605) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dr = 46.7631400001423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62152523-2.62157317) × cos(-1.41704871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15314260949724 × 6371000     		do = 46.7736948311949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62152523-2.62157317) × cos(-1.41705605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153135356075029 × 6371000     		du = 46.7714794493485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41704871)-sin(-1.41705605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15314260949724-0.153135356075029)×R²
    abs(2.62157317-2.62152523)×7.25342221147285e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.25342221147285e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.25342221147285e-06×40589641000000     		ar = 2187.23304057825m²