Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120222 / 119018
↖ ↑ ↗
← S 81.192172°
E150.199585°		 ← 46.77 m → S 81.192172°
E150.202332°		 →
↑
46.76 m
↓
↑
46.76 m
↓
S 81.192593°
E150.199585°		 ← 46.76 m →
2 187 m²		 S 81.192593°
E150.202332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917224884033203 y=0.908039093017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917224884033203 × 217)
    floor (0.917224884033203 × 131072)
    floor (120222.5)     		tx = 120222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908039093017578 × 217)
    floor (0.908039093017578 × 131072)
    floor (119018.5)     		ty = 119018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120222 / 119018 ti = "17/120222/119018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120222/119018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120222 ÷ 217
    120222 ÷ 131072     		x = 0.917221069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119018 ÷ 217
    119018 ÷ 131072     		y = 0.908035278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.917221069335938 × 2 - 1) × π
    0.834442138671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.62147729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908035278320312 × 2 - 1) × π
    -0.816070556640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56376126547984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62147729} λ = 2.62147729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56376126547984))-π/2
    2×atan(0.0770145229263512)-π/2
    2×0.0768627987194262-π/2
    0.153725597438852-1.57079632675     		φ = -1.41707073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62147729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.199585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41707073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.192172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120222 KachelY 119018 2.62147729 -1.41707073 150.199585 -81.192172
    Oben rechts KachelX + 1 120223 KachelY 119018 2.62152523 -1.41707073 150.202332 -81.192172
    Unten links KachelX 120222 KachelY + 1 119019 2.62147729 -1.41707807 150.199585 -81.192593
    Unten rechts KachelX + 1 120223 KachelY + 1 119019 2.62152523 -1.41707807 150.202332 -81.192593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41707073--1.41707807) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dl = 46.7631400001423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41707073--1.41707807) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dr = 46.7631400001423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62147729-2.62152523) × cos(-1.41707073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153120849205855 × 6371000     		do = 46.7670486780961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62147729-2.62152523) × cos(-1.41707807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153113595758894 × 6371000     		du = 46.7648332886905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41707073)-sin(-1.41707807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153120849205855-0.153113595758894)×R²
    abs(2.62152523-2.62147729)×7.25344696109187e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.25344696109187e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.25344696109187e-06×40589641000000     		ar = 2186.92224531341m²