Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12022 / 14098
↖ ↑ ↗
← N 24.347097°
W 47.922363°		 ← 1 112.93 m → N 24.347097°
W 47.911377°		 →
↑
1 113.01 m
↓
↑
1 113.01 m
↓
N 24.337087°
W 47.922363°		 ← 1 113.02 m →
1 238 760 m²		 N 24.337087°
W 47.911377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366897583007812 y=0.430252075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366897583007812 × 215)
    floor (0.366897583007812 × 32768)
    floor (12022.5)     		tx = 12022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430252075195312 × 215)
    floor (0.430252075195312 × 32768)
    floor (14098.5)     		ty = 14098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12022 / 14098 ti = "15/12022/14098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12022/14098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12022 ÷ 215
    12022 ÷ 32768     		x = 0.36688232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14098 ÷ 215
    14098 ÷ 32768     		y = 0.43023681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36688232421875 × 2 - 1) × π
    -0.2662353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83640302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43023681640625 × 2 - 1) × π
    0.1395263671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.438335010125793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83640302} λ = -0.83640302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438335010125793))-π/2
    2×atan(1.55012412772165)-π/2
    2×0.997866663172335-π/2
    1.99573332634467-1.57079632675     		φ = 0.42493700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83640302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.922363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42493700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.347097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12022 KachelY 14098 -0.83640302 0.42493700 -47.922363 24.347097
    Oben rechts KachelX + 1 12023 KachelY 14098 -0.83621128 0.42493700 -47.911377 24.347097
    Unten links KachelX 12022 KachelY + 1 14099 -0.83640302 0.42476230 -47.922363 24.337087
    Unten rechts KachelX + 1 12023 KachelY + 1 14099 -0.83621128 0.42476230 -47.911377 24.337087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42493700-0.42476230) × R
    0.000174700000000028 × 6371000     		dl = 1113.01370000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42493700-0.42476230) × R
    0.000174700000000028 × 6371000     		dr = 1113.01370000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83640302--0.83621128) × cos(0.42493700) × R
    0.000191739999999996 × 0.91106470735531 × 6371000     		do = 1112.93436186248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83640302--0.83621128) × cos(0.42476230) × R
    0.000191739999999996 × 0.911136715865499 × 6371000     		du = 1113.0223256972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42493700)-sin(0.42476230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91106470735531-0.911136715865499)×R²
    abs(-0.83621128--0.83640302)×7.2008510189514e-05×R²
    0.000191739999999996×7.2008510189514e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.2008510189514e-05×40589641000000     		ar = 1238760.14758121m²