Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120211 / 119948
↖ ↑ ↗
← S 81.574798°
E150.169373°		 ← 44.74 m → S 81.574798°
E150.172119°		 →
↑
44.79 m
↓
↑
44.79 m
↓
S 81.575201°
E150.169373°		 ← 44.74 m →
2 004 m²		 S 81.575201°
E150.172119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917140960693359 y=0.915134429931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917140960693359 × 217)
    floor (0.917140960693359 × 131072)
    floor (120211.5)     		tx = 120211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915134429931641 × 217)
    floor (0.915134429931641 × 131072)
    floor (119948.5)     		ty = 119948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120211 / 119948 ti = "17/120211/119948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120211/119948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120211 ÷ 217
    120211 ÷ 131072     		x = 0.917137145996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119948 ÷ 217
    119948 ÷ 131072     		y = 0.915130615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.917137145996094 × 2 - 1) × π
    0.834274291992188 × 3.1415926535     		Λ = 2.62094999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915130615234375 × 2 - 1) × π
    -0.83026123046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.6083425821265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62094999} λ = 2.62094999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6083425821265))-π/2
    2×atan(0.0736565222869796)-π/2
    2×0.0735237517110427-π/2
    0.147047503422085-1.57079632675     		φ = -1.42374882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62094999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.169373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42374882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.574798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120211 KachelY 119948 2.62094999 -1.42374882 150.169373 -81.574798
    Oben rechts KachelX + 1 120212 KachelY 119948 2.62099792 -1.42374882 150.172119 -81.574798
    Unten links KachelX 120211 KachelY + 1 119949 2.62094999 -1.42375585 150.169373 -81.575201
    Unten rechts KachelX + 1 120212 KachelY + 1 119949 2.62099792 -1.42375585 150.172119 -81.575201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42374882--1.42375585) × R
    7.03000000012999e-06 × 6371000     		dl = 44.7881300008282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42374882--1.42375585) × R
    7.03000000012999e-06 × 6371000     		dr = 44.7881300008282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62094999-2.62099792) × cos(-1.42374882) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146518145484232 × 6371000     		do = 44.7410783369278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62094999-2.62099792) × cos(-1.42375585) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146511191348493 × 6371000     		du = 44.7389548079217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42374882)-sin(-1.42375585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146518145484232-0.146511191348493)×R²
    abs(2.62099792-2.62094999)×6.95413573900683e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.95413573900683e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.95413573900683e-06×40589641000000     		ar = 2003.82167854631m²