Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120210 / 119947
↖ ↑ ↗
← S 81.574396°
E150.166626°		 ← 44.75 m → S 81.574396°
E150.169373°		 →
↑
44.72 m
↓
↑
44.72 m
↓
S 81.574798°
E150.166626°		 ← 44.75 m →
2 001 m²		 S 81.574798°
E150.169373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917133331298828 y=0.915126800537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917133331298828 × 217)
    floor (0.917133331298828 × 131072)
    floor (120210.5)     		tx = 120210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915126800537109 × 217)
    floor (0.915126800537109 × 131072)
    floor (119947.5)     		ty = 119947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120210 / 119947 ti = "17/120210/119947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120210/119947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120210 ÷ 217
    120210 ÷ 131072     		x = 0.917129516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119947 ÷ 217
    119947 ÷ 131072     		y = 0.915122985839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.917129516601562 × 2 - 1) × π
    0.834259033203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.62090205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915122985839844 × 2 - 1) × π
    -0.830245971679688 × 3.1415926535     		Φ = -2.60829464522688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62090205} λ = 2.62090205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60829464522688))-π/2
    2×atan(0.0736600532369255)-π/2
    2×0.0735272636070446-π/2
    0.147054527214089-1.57079632675     		φ = -1.42374180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62090205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.166626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42374180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.574396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120210 KachelY 119947 2.62090205 -1.42374180 150.166626 -81.574396
    Oben rechts KachelX + 1 120211 KachelY 119947 2.62094999 -1.42374180 150.169373 -81.574396
    Unten links KachelX 120210 KachelY + 1 119948 2.62090205 -1.42374882 150.166626 -81.574798
    Unten rechts KachelX + 1 120211 KachelY + 1 119948 2.62094999 -1.42374882 150.169373 -81.574798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42374180--1.42374882) × R
    7.01999999996872e-06 × 6371000     		dl = 44.7244199998007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42374180--1.42374882) × R
    7.01999999996872e-06 × 6371000     		dr = 44.7244199998007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62090205-2.62094999) × cos(-1.42374180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14652508972066 × 6371000     		do = 44.7525339564697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62090205-2.62094999) × cos(-1.42374882) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146518145484232 × 6371000     		du = 44.7504130079199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42374180)-sin(-1.42374882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14652508972066-0.146518145484232)×R²
    abs(2.62094999-2.62090205)×6.94423642824682e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.94423642824682e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.94423642824682e-06×40589641000000     		ar = 2001.48369559272m²