Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120209 / 119949
↖ ↑ ↗
← S 81.575201°
E150.163879°		 ← 44.75 m → S 81.575201°
E150.166626°		 →
↑
44.72 m
↓
↑
44.72 m
↓
S 81.575603°
E150.163879°		 ← 44.75 m →
2 001 m²		 S 81.575603°
E150.166626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917125701904297 y=0.915142059326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917125701904297 × 217)
    floor (0.917125701904297 × 131072)
    floor (120209.5)     		tx = 120209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915142059326172 × 217)
    floor (0.915142059326172 × 131072)
    floor (119949.5)     		ty = 119949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120209 / 119949 ti = "17/120209/119949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120209/119949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120209 ÷ 217
    120209 ÷ 131072     		x = 0.917121887207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119949 ÷ 217
    119949 ÷ 131072     		y = 0.915138244628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.917121887207031 × 2 - 1) × π
    0.834243774414062 × 3.1415926535     		Λ = 2.62085411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915138244628906 × 2 - 1) × π
    -0.830276489257812 × 3.1415926535     		Φ = -2.60839051902612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62085411} λ = 2.62085411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60839051902612))-π/2
    2×atan(0.0736529915062924)-π/2
    2×0.0735202399815694-π/2
    0.147040479963139-1.57079632675     		φ = -1.42375585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62085411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.163879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42375585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.575201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120209 KachelY 119949 2.62085411 -1.42375585 150.163879 -81.575201
    Oben rechts KachelX + 1 120210 KachelY 119949 2.62090205 -1.42375585 150.166626 -81.575201
    Unten links KachelX 120209 KachelY + 1 119950 2.62085411 -1.42376287 150.163879 -81.575603
    Unten rechts KachelX + 1 120210 KachelY + 1 119950 2.62090205 -1.42376287 150.166626 -81.575603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42375585--1.42376287) × R
    7.01999999996872e-06 × 6371000     		dl = 44.7244199998007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42375585--1.42376287) × R
    7.01999999996872e-06 × 6371000     		dr = 44.7244199998007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62085411-2.62090205) × cos(-1.42375585) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.146511191348493 × 6371000     		do = 44.7482890362803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62085411-2.62090205) × cos(-1.42376287) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.146504247097614 × 6371000     		du = 44.7461680833167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42375585)-sin(-1.42376287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146511191348493-0.146504247097614)×R²
    abs(2.62090205-2.62085411)×6.94425087913175e-06×R²
    4.79400000004127e-05×6.94425087913175e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×6.94425087913175e-06×40589641000000     		ar = 2001.29384390428m²