Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120203 / 119957
↖ ↑ ↗
← S 81.578420°
E150.147400°		 ← 44.73 m → S 81.578420°
E150.150147°		 →
↑
44.72 m
↓
↑
44.72 m
↓
S 81.578822°
E150.147400°		 ← 44.73 m →
2 001 m²		 S 81.578822°
E150.150147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917079925537109 y=0.915203094482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917079925537109 × 217)
    floor (0.917079925537109 × 131072)
    floor (120203.5)     		tx = 120203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915203094482422 × 217)
    floor (0.915203094482422 × 131072)
    floor (119957.5)     		ty = 119957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120203 / 119957 ti = "17/120203/119957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120203/119957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120203 ÷ 217
    120203 ÷ 131072     		x = 0.917076110839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119957 ÷ 217
    119957 ÷ 131072     		y = 0.915199279785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.917076110839844 × 2 - 1) × π
    0.834152221679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.62056649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915199279785156 × 2 - 1) × π
    -0.830398559570312 × 3.1415926535     		Φ = -2.60877401422308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62056649} λ = 2.62056649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60877401422308))-π/2
    2×atan(0.0736247513531356)-π/2
    2×0.0734921521398869-π/2
    0.146984304279774-1.57079632675     		φ = -1.42381202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62056649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.147400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42381202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.578420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120203 KachelY 119957 2.62056649 -1.42381202 150.147400 -81.578420
    Oben rechts KachelX + 1 120204 KachelY 119957 2.62061443 -1.42381202 150.150147 -81.578420
    Unten links KachelX 120203 KachelY + 1 119958 2.62056649 -1.42381904 150.147400 -81.578822
    Unten rechts KachelX + 1 120204 KachelY + 1 119958 2.62061443 -1.42381904 150.150147 -81.578822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42381202--1.42381904) × R
    7.01999999996872e-06 × 6371000     		dl = 44.7244199998007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42381202--1.42381904) × R
    7.01999999996872e-06 × 6371000     		dr = 44.7244199998007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62056649-2.62061443) × cos(-1.42381202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146455627247152 × 6371000     		do = 44.7313183290964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62056649-2.62061443) × cos(-1.42381904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146448682938514 × 6371000     		du = 44.7291973584918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42381202)-sin(-1.42381904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146455627247152-0.146448682938514)×R²
    abs(2.62061443-2.62056649)×6.94430863815154e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.94430863815154e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.94430863815154e-06×40589641000000     		ar = 2000.53483845023m²