Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120203 / 119953
↖ ↑ ↗
← S 81.576811°
E150.147400°		 ← 44.74 m → S 81.576811°
E150.150147°		 →
↑
44.72 m
↓
↑
44.72 m
↓
S 81.577213°
E150.147400°		 ← 44.74 m →
2 001 m²		 S 81.577213°
E150.150147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.917079925537109 y=0.915172576904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.917079925537109 × 217)
    floor (0.917079925537109 × 131072)
    floor (120203.5)     		tx = 120203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915172576904297 × 217)
    floor (0.915172576904297 × 131072)
    floor (119953.5)     		ty = 119953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120203 / 119953 ti = "17/120203/119953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120203/119953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120203 ÷ 217
    120203 ÷ 131072     		x = 0.917076110839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119953 ÷ 217
    119953 ÷ 131072     		y = 0.915168762207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.917076110839844 × 2 - 1) × π
    0.834152221679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.62056649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915168762207031 × 2 - 1) × π
    -0.830337524414062 × 3.1415926535     		Φ = -2.6085822666246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.62056649} λ = 2.62056649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6085822666246))-π/2
    2×atan(0.0736388700759686)-π/2
    2×0.073506194728808-π/2
    0.147012389457616-1.57079632675     		φ = -1.42378394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.62056649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.147400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42378394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.576811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120203 KachelY 119953 2.62056649 -1.42378394 150.147400 -81.576811
    Oben rechts KachelX + 1 120204 KachelY 119953 2.62061443 -1.42378394 150.150147 -81.576811
    Unten links KachelX 120203 KachelY + 1 119954 2.62056649 -1.42379096 150.147400 -81.577213
    Unten rechts KachelX + 1 120204 KachelY + 1 119954 2.62061443 -1.42379096 150.150147 -81.577213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42378394--1.42379096) × R
    7.01999999996872e-06 × 6371000     		dl = 44.7244199998007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42378394--1.42379096) × R
    7.01999999996872e-06 × 6371000     		dr = 44.7244199998007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.62056649-2.62061443) × cos(-1.42378394) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146483404409528 × 6371000     		do = 44.7398021894699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.62056649-2.62061443) × cos(-1.42379096) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146476460129761 × 6371000     		du = 44.7376812276835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42378394)-sin(-1.42379096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146483404409528-0.146476460129761)×R²
    abs(2.62061443-2.62056649)×6.94427976652423e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.94427976652423e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.94427976652423e-06×40589641000000     		ar = 2000.91427441327m²