Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1202 / 929
↖ ↑ ↗
← N 16.467695°
E 31.289062°		 ← 18.744 km → N 16.467695°
E 31.464844°		 →
↑
18.752 km
↓
↑
18.752 km
↓
N 16.299051°
E 31.289062°		 ← 18.760 km →
351.649 km²		 N 16.299051°
E 31.464844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.587158203125 y=0.453857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.587158203125 × 211)
    floor (0.587158203125 × 2048)
    floor (1202.5)     		tx = 1202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.453857421875 × 211)
    floor (0.453857421875 × 2048)
    floor (929.5)     		ty = 929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1202 / 929 ti = "11/1202/929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1202/929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1202 ÷ 211
    1202 ÷ 2048     		x = 0.5869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 929 ÷ 211
    929 ÷ 2048     		y = 0.45361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5869140625 × 2 - 1) × π
    0.173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.54609716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45361328125 × 2 - 1) × π
    0.0927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.291456349689941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54609716} λ = 0.54609716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.291456349689941))-π/2
    2×atan(1.33837521172244)-π/2
    2×0.929105910178965-π/2
    1.85821182035793-1.57079632675     		φ = 0.28741549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54609716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.289062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.28741549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.467695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1202 KachelY 929 0.54609716 0.28741549 31.289062 16.467695
    Oben rechts KachelX + 1 1203 KachelY 929 0.54916512 0.28741549 31.464844 16.467695
    Unten links KachelX 1202 KachelY + 1 930 0.54609716 0.28447211 31.289062 16.299051
    Unten rechts KachelX + 1 1203 KachelY + 1 930 0.54916512 0.28447211 31.464844 16.299051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.28741549-0.28447211) × R
    0.00294338 × 6371000     		dl = 18752.27398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.28741549-0.28447211) × R
    0.00294338 × 6371000     		dr = 18752.27398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54609716-0.54916512) × cos(0.28741549) × R
    0.00306795999999998 × 0.958979720690072 × 6371000     		do = 18744.1918815923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54609716-0.54916512) × cos(0.28447211) × R
    0.00306795999999998 × 0.959809939144049 × 6371000     		du = 18760.4193092107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.28741549)-sin(0.28447211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958979720690072-0.959809939144049)×R²
    abs(0.54916512-0.54609716)×0.000830218453977793×R²
    0.00306795999999998×0.000830218453977793×6371000²
    0.00306795999999998×0.000830218453977793×40589641000000     		ar = 351648626.156933m²