Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12019 / 14096
↖ ↑ ↗
← N 24.367114°
W 47.955322°		 ← 1 112.82 m → N 24.367114°
W 47.944336°		 →
↑
1 112.82 m
↓
↑
1 112.82 m
↓
N 24.357106°
W 47.955322°		 ← 1 112.90 m →
1 238 416 m²		 N 24.357106°
W 47.944336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366806030273438 y=0.430191040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366806030273438 × 215)
    floor (0.366806030273438 × 32768)
    floor (12019.5)     		tx = 12019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430191040039062 × 215)
    floor (0.430191040039062 × 32768)
    floor (14096.5)     		ty = 14096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12019 / 14096 ti = "15/12019/14096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12019/14096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12019 ÷ 215
    12019 ÷ 32768     		x = 0.366790771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14096 ÷ 215
    14096 ÷ 32768     		y = 0.43017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366790771484375 × 2 - 1) × π
    -0.26641845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83697827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43017578125 × 2 - 1) × π
    0.1396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.438718505322754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83697827} λ = -0.83697827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438718505322754))-π/2
    2×atan(1.55071870688116)-π/2
    2×0.998041343829552-π/2
    1.9960826876591-1.57079632675     		φ = 0.42528636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83697827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.955322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42528636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.367114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12019 KachelY 14096 -0.83697827 0.42528636 -47.955322 24.367114
    Oben rechts KachelX + 1 12020 KachelY 14096 -0.83678652 0.42528636 -47.944336 24.367114
    Unten links KachelX 12019 KachelY + 1 14097 -0.83697827 0.42511169 -47.955322 24.357106
    Unten rechts KachelX + 1 12020 KachelY + 1 14097 -0.83678652 0.42511169 -47.944336 24.357106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42528636-0.42511169) × R
    0.000174669999999988 × 6371000     		dl = 1112.82256999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42528636-0.42511169) × R
    0.000174669999999988 × 6371000     		dr = 1112.82256999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83697827--0.83678652) × cos(0.42528636) × R
    0.000191750000000046 × 0.910920623423066 × 6371000     		do = 1112.81638720835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83697827--0.83678652) × cos(0.42511169) × R
    0.000191750000000046 × 0.910992675163569 × 6371000     		du = 1112.90440844258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42528636)-sin(0.42511169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910920623423066-0.910992675163569)×R²
    abs(-0.83678652--0.83697827)×7.20517405031762e-05×R²
    0.000191750000000046×7.20517405031762e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.20517405031762e-05×40589641000000     		ar = 1238416.17110772m²