Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12019 / 14069
↖ ↑ ↗
← N 24.637032°
W 47.955322°		 ← 1 110.43 m → N 24.637032°
W 47.944336°		 →
↑
1 110.47 m
↓
↑
1 110.47 m
↓
N 24.627045°
W 47.955322°		 ← 1 110.52 m →
1 233 143 m²		 N 24.627045°
W 47.944336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366806030273438 y=0.429367065429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366806030273438 × 215)
    floor (0.366806030273438 × 32768)
    floor (12019.5)     		tx = 12019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429367065429688 × 215)
    floor (0.429367065429688 × 32768)
    floor (14069.5)     		ty = 14069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12019 / 14069 ti = "15/12019/14069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12019/14069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12019 ÷ 215
    12019 ÷ 32768     		x = 0.366790771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14069 ÷ 215
    14069 ÷ 32768     		y = 0.429351806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366790771484375 × 2 - 1) × π
    -0.26641845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83697827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429351806640625 × 2 - 1) × π
    0.14129638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.44389569048172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83697827} λ = -0.83697827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.44389569048172))-π/2
    2×atan(1.55876788281459)-π/2
    2×1.00039682090959-π/2
    2.00079364181918-1.57079632675     		φ = 0.42999732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83697827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.955322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42999732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.637032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12019 KachelY 14069 -0.83697827 0.42999732 -47.955322 24.637032
    Oben rechts KachelX + 1 12020 KachelY 14069 -0.83678652 0.42999732 -47.944336 24.637032
    Unten links KachelX 12019 KachelY + 1 14070 -0.83697827 0.42982302 -47.955322 24.627045
    Unten rechts KachelX + 1 12020 KachelY + 1 14070 -0.83678652 0.42982302 -47.944336 24.627045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42999732-0.42982302) × R
    0.000174300000000016 × 6371000     		dl = 1110.4653000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42999732-0.42982302) × R
    0.000174300000000016 × 6371000     		dr = 1110.4653000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83697827--0.83678652) × cos(0.42999732) × R
    0.000191750000000046 × 0.908966866885371 × 6371000     		do = 1110.42960153696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83697827--0.83678652) × cos(0.42982302) × R
    0.000191750000000046 × 0.909039513233837 × 6371000     		du = 1110.51834916762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42999732)-sin(0.42982302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908966866885371-0.909039513233837)×R²
    abs(-0.83678652--0.83697827)×7.26463484661544e-05×R²
    0.000191750000000046×7.26463484661544e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.26463484661544e-05×40589641000000     		ar = 1233142.81930364m²