Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12019 / 14067
↖ ↑ ↗
← N 24.657002°
W 47.955322°		 ← 1 110.25 m → N 24.657002°
W 47.944336°		 →
↑
1 110.27 m
↓
↑
1 110.27 m
↓
N 24.647017°
W 47.955322°		 ← 1 110.34 m →
1 232 733 m²		 N 24.647017°
W 47.944336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366806030273438 y=0.429306030273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366806030273438 × 215)
    floor (0.366806030273438 × 32768)
    floor (12019.5)     		tx = 12019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429306030273438 × 215)
    floor (0.429306030273438 × 32768)
    floor (14067.5)     		ty = 14067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12019 / 14067 ti = "15/12019/14067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12019/14067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12019 ÷ 215
    12019 ÷ 32768     		x = 0.366790771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14067 ÷ 215
    14067 ÷ 32768     		y = 0.429290771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366790771484375 × 2 - 1) × π
    -0.26641845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83697827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429290771484375 × 2 - 1) × π
    0.14141845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.44427918567868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83697827} λ = -0.83697827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.44427918567868))-π/2
    2×atan(1.55936577744835)-π/2
    2×1.00057109918924-π/2
    2.00114219837847-1.57079632675     		φ = 0.43034587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83697827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.955322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43034587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.657002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12019 KachelY 14067 -0.83697827 0.43034587 -47.955322 24.657002
    Oben rechts KachelX + 1 12020 KachelY 14067 -0.83678652 0.43034587 -47.944336 24.657002
    Unten links KachelX 12019 KachelY + 1 14068 -0.83697827 0.43017160 -47.955322 24.647017
    Unten rechts KachelX + 1 12020 KachelY + 1 14068 -0.83678652 0.43017160 -47.944336 24.647017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43034587-0.43017160) × R
    0.000174270000000032 × 6371000     		dl = 1110.2741700002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43034587-0.43017160) × R
    0.000174270000000032 × 6371000     		dr = 1110.2741700002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83697827--0.83678652) × cos(0.43034587) × R
    0.000191750000000046 × 0.90882151220533 × 6371000     		do = 1110.25203055465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83697827--0.83678652) × cos(0.43017160) × R
    0.000191750000000046 × 0.908894201262582 × 6371000     		du = 1110.34083036004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43034587)-sin(0.43017160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90882151220533-0.908894201262582)×R²
    abs(-0.83678652--0.83697827)×7.26890572522176e-05×R²
    0.000191750000000046×7.26890572522176e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.26890572522176e-05×40589641000000     		ar = 1232733.45090002m²