Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120182 / 119254
↖ ↑ ↗
← S 81.290871°
E150.089722°		 ← 46.24 m → S 81.290871°
E150.092468°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
S 81.291287°
E150.089722°		 ← 46.24 m →
2 139 m²		 S 81.291287°
E150.092468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916919708251953 y=0.909839630126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916919708251953 × 217)
    floor (0.916919708251953 × 131072)
    floor (120182.5)     		tx = 120182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909839630126953 × 217)
    floor (0.909839630126953 × 131072)
    floor (119254.5)     		ty = 119254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120182 / 119254 ti = "17/120182/119254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120182/119254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120182 ÷ 217
    120182 ÷ 131072     		x = 0.916915893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119254 ÷ 217
    119254 ÷ 131072     		y = 0.909835815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916915893554688 × 2 - 1) × π
    0.833831787109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.61955982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909835815429688 × 2 - 1) × π
    -0.819671630859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57507437379018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61955982} λ = 2.61955982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57507437379018))-π/2
    2×atan(0.0761481591607881)-π/2
    2×0.0760014863467-π/2
    0.1520029726934-1.57079632675     		φ = -1.41879335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61955982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.089722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41879335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.290871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120182 KachelY 119254 2.61955982 -1.41879335 150.089722 -81.290871
    Oben rechts KachelX + 1 120183 KachelY 119254 2.61960775 -1.41879335 150.092468 -81.290871
    Unten links KachelX 120182 KachelY + 1 119255 2.61955982 -1.41880061 150.089722 -81.291287
    Unten rechts KachelX + 1 120183 KachelY + 1 119255 2.61960775 -1.41880061 150.092468 -81.291287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41879335--1.41880061) × R
    7.25999999984239e-06 × 6371000     		dl = 46.2534599989959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41879335--1.41880061) × R
    7.25999999984239e-06 × 6371000     		dr = 46.2534599989959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61955982-2.61960775) × cos(-1.41879335) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151418316907393 × 6371000     		do = 46.2374046300532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61955982-2.61960775) × cos(-1.41880061) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151411140612847 × 6371000     		du = 46.2352132621826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41879335)-sin(-1.41880061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151418316907393-0.151411140612847)×R²
    abs(2.61960775-2.61955982)×7.17629454649593e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.17629454649593e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.17629454649593e-06×40589641000000     		ar = 2138.58926624729m²