Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12018 / 15111
↖ ↑ ↗
← N 13.848747°
W 47.966308°		 ← 1 186.07 m → N 13.848747°
W 47.955322°		 →
↑
1 186.15 m
↓
↑
1 186.15 m
↓
N 13.838080°
W 47.966308°		 ← 1 186.12 m →
1 406 887 m²		 N 13.838080°
W 47.955322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366775512695312 y=0.461166381835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366775512695312 × 215)
    floor (0.366775512695312 × 32768)
    floor (12018.5)     		tx = 12018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461166381835938 × 215)
    floor (0.461166381835938 × 32768)
    floor (15111.5)     		ty = 15111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12018 / 15111 ti = "15/12018/15111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12018/15111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12018 ÷ 215
    12018 ÷ 32768     		x = 0.36676025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15111 ÷ 215
    15111 ÷ 32768     		y = 0.461151123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36676025390625 × 2 - 1) × π
    -0.2664794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83717001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461151123046875 × 2 - 1) × π
    0.07769775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.244094692865326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83717001} λ = -0.83717001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.244094692865326))-π/2
    2×atan(1.27646519691375)-π/2
    2×0.906251280894409-π/2
    1.81250256178882-1.57079632675     		φ = 0.24170624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83717001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.966308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24170624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.848747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12018 KachelY 15111 -0.83717001 0.24170624 -47.966308 13.848747
    Oben rechts KachelX + 1 12019 KachelY 15111 -0.83697827 0.24170624 -47.955322 13.848747
    Unten links KachelX 12018 KachelY + 1 15112 -0.83717001 0.24152006 -47.966308 13.838080
    Unten rechts KachelX + 1 12019 KachelY + 1 15112 -0.83697827 0.24152006 -47.955322 13.838080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24170624-0.24152006) × R
    0.00018617999999998 × 6371000     		dl = 1186.15277999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24170624-0.24152006) × R
    0.00018617999999998 × 6371000     		dr = 1186.15277999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83717001--0.83697827) × cos(0.24170624) × R
    0.000191739999999996 × 0.97093098341361 × 6371000     		do = 1186.06554036619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83717001--0.83697827) × cos(0.24152006) × R
    0.000191739999999996 × 0.970975530558847 × 6371000     		du = 1186.11995806918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24170624)-sin(0.24152006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97093098341361-0.970975530558847)×R²
    abs(-0.83697827--0.83717001)×4.45471452367174e-05×R²
    0.000191739999999996×4.45471452367174e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.45471452367174e-05×40589641000000     		ar = 1406887.2158863m²