Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12018 / 15086
↖ ↑ ↗
← N 14.115267°
W 47.966308°		 ← 1 184.69 m → N 14.115267°
W 47.955322°		 →
↑
1 184.75 m
↓
↑
1 184.75 m
↓
N 14.104613°
W 47.966308°		 ← 1 184.75 m →
1 403 599 m²		 N 14.104613°
W 47.955322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366775512695312 y=0.460403442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366775512695312 × 215)
    floor (0.366775512695312 × 32768)
    floor (12018.5)     		tx = 12018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460403442382812 × 215)
    floor (0.460403442382812 × 32768)
    floor (15086.5)     		ty = 15086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12018 / 15086 ti = "15/12018/15086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12018/15086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12018 ÷ 215
    12018 ÷ 32768     		x = 0.36676025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15086 ÷ 215
    15086 ÷ 32768     		y = 0.46038818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36676025390625 × 2 - 1) × π
    -0.2664794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83717001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46038818359375 × 2 - 1) × π
    0.0792236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.248888382827332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83717001} λ = -0.83717001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.248888382827332))-π/2
    2×atan(1.28259886502097)-π/2
    2×0.908577108955772-π/2
    1.81715421791154-1.57079632675     		φ = 0.24635789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83717001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.966308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24635789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.115267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12018 KachelY 15086 -0.83717001 0.24635789 -47.966308 14.115267
    Oben rechts KachelX + 1 12019 KachelY 15086 -0.83697827 0.24635789 -47.955322 14.115267
    Unten links KachelX 12018 KachelY + 1 15087 -0.83717001 0.24617193 -47.966308 14.104613
    Unten rechts KachelX + 1 12019 KachelY + 1 15087 -0.83697827 0.24617193 -47.955322 14.104613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24635789-0.24617193) × R
    0.000185959999999985 × 6371000     		dl = 1184.7511599999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24635789-0.24617193) × R
    0.000185959999999985 × 6371000     		dr = 1184.7511599999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83717001--0.83697827) × cos(0.24635789) × R
    0.000191739999999996 × 0.969807065864871 × 6371000     		do = 1184.69259017967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83717001--0.83697827) × cos(0.24617193) × R
    0.000191739999999996 × 0.969852399801104 × 6371000     		du = 1184.7479690073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24635789)-sin(0.24617193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969807065864871-0.969852399801104)×R²
    abs(-0.83697827--0.83717001)×4.53339362325167e-05×R²
    0.000191739999999996×4.53339362325167e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.53339362325167e-05×40589641000000     		ar = 1403598.72956875m²