Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12018 / 14075
↖ ↑ ↗
← N 24.577100°
W 47.966308°		 ← 1 110.90 m → N 24.577100°
W 47.955322°		 →
↑
1 110.97 m
↓
↑
1 110.97 m
↓
N 24.567108°
W 47.966308°		 ← 1 110.99 m →
1 234 235 m²		 N 24.567108°
W 47.955322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366775512695312 y=0.429550170898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366775512695312 × 215)
    floor (0.366775512695312 × 32768)
    floor (12018.5)     		tx = 12018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429550170898438 × 215)
    floor (0.429550170898438 × 32768)
    floor (14075.5)     		ty = 14075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12018 / 14075 ti = "15/12018/14075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12018/14075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12018 ÷ 215
    12018 ÷ 32768     		x = 0.36676025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14075 ÷ 215
    14075 ÷ 32768     		y = 0.429534912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36676025390625 × 2 - 1) × π
    -0.2664794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83717001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429534912109375 × 2 - 1) × π
    0.14093017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.442745204890839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83717001} λ = -0.83717001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.442745204890839))-π/2
    2×atan(1.55697557403628)-π/2
    2×0.999873818956148-π/2
    1.9997476379123-1.57079632675     		φ = 0.42895131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83717001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.966308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42895131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.577100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12018 KachelY 14075 -0.83717001 0.42895131 -47.966308 24.577100
    Oben rechts KachelX + 1 12019 KachelY 14075 -0.83697827 0.42895131 -47.955322 24.577100
    Unten links KachelX 12018 KachelY + 1 14076 -0.83717001 0.42877693 -47.966308 24.567108
    Unten rechts KachelX + 1 12019 KachelY + 1 14076 -0.83697827 0.42877693 -47.955322 24.567108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42895131-0.42877693) × R
    0.000174379999999974 × 6371000     		dl = 1110.97497999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42895131-0.42877693) × R
    0.000174379999999974 × 6371000     		dr = 1110.97497999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83717001--0.83697827) × cos(0.42895131) × R
    0.000191739999999996 × 0.909402418018734 × 6371000     		do = 1110.90374986852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83717001--0.83697827) × cos(0.42877693) × R
    0.000191739999999996 × 0.909474931859145 × 6371000     		du = 1110.99233100227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42895131)-sin(0.42877693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909402418018734-0.909474931859145)×R²
    abs(-0.83697827--0.83717001)×7.25138404111814e-05×R²
    0.000191739999999996×7.25138404111814e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.25138404111814e-05×40589641000000     		ar = 1234235.48013137m²