Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120178 / 119240
↖ ↑ ↗
← S 81.285047°
E150.078735°		 ← 46.28 m → S 81.285047°
E150.081482°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
S 81.285463°
E150.078735°		 ← 46.28 m →
2 140 m²		 S 81.285463°
E150.081482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916889190673828 y=0.909732818603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916889190673828 × 217)
    floor (0.916889190673828 × 131072)
    floor (120178.5)     		tx = 120178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909732818603516 × 217)
    floor (0.909732818603516 × 131072)
    floor (119240.5)     		ty = 119240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120178 / 119240 ti = "17/120178/119240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120178/119240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120178 ÷ 217
    120178 ÷ 131072     		x = 0.916885375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119240 ÷ 217
    119240 ÷ 131072     		y = 0.90972900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916885375976562 × 2 - 1) × π
    0.833770751953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61936807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90972900390625 × 2 - 1) × π
    -0.8194580078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.5744032571955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61936807} λ = 2.61936807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5744032571955))-π/2
    2×atan(0.0761992806063618)-π/2
    2×0.0760523128746078-π/2
    0.152104625749216-1.57079632675     		φ = -1.41869170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61936807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.078735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41869170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.285047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120178 KachelY 119240 2.61936807 -1.41869170 150.078735 -81.285047
    Oben rechts KachelX + 1 120179 KachelY 119240 2.61941601 -1.41869170 150.081482 -81.285047
    Unten links KachelX 120178 KachelY + 1 119241 2.61936807 -1.41869896 150.078735 -81.285463
    Unten rechts KachelX + 1 120179 KachelY + 1 119241 2.61941601 -1.41869896 150.081482 -81.285463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41869170--1.41869896) × R
    7.25999999984239e-06 × 6371000     		dl = 46.2534599989959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41869170--1.41869896) × R
    7.25999999984239e-06 × 6371000     		dr = 46.2534599989959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61936807-2.61941601) × cos(-1.41869170) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151518794077424 × 6371000     		do = 46.2777398049745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61936807-2.61941601) × cos(-1.41869896) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151511617894655 × 6371000     		du = 46.275548014042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41869170)-sin(-1.41869896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151518794077424-0.151511617894655)×R²
    abs(2.61941601-2.61936807)×7.17618276854792e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.17618276854792e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.17618276854792e-06×40589641000000     		ar = 2140.45489796165m²