Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12017 / 14064
↖ ↑ ↗
← N 24.686952°
W 47.977295°		 ← 1 109.99 m → N 24.686952°
W 47.966308°		 →
↑
1 110.02 m
↓
↑
1 110.02 m
↓
N 24.676970°
W 47.977295°		 ← 1 110.07 m →
1 232 155 m²		 N 24.676970°
W 47.966308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366744995117188 y=0.429214477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366744995117188 × 215)
    floor (0.366744995117188 × 32768)
    floor (12017.5)     		tx = 12017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429214477539062 × 215)
    floor (0.429214477539062 × 32768)
    floor (14064.5)     		ty = 14064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12017 / 14064 ti = "15/12017/14064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12017/14064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12017 ÷ 215
    12017 ÷ 32768     		x = 0.366729736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14064 ÷ 215
    14064 ÷ 32768     		y = 0.42919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366729736328125 × 2 - 1) × π
    -0.26654052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83736176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42919921875 × 2 - 1) × π
    0.1416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.444854428474121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83736176} λ = -0.83736176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.444854428474121))-π/2
    2×atan(1.56026304942717)-π/2
    2×1.00083246432794-π/2
    2.00166492865588-1.57079632675     		φ = 0.43086860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83736176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.977295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43086860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.686952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12017 KachelY 14064 -0.83736176 0.43086860 -47.977295 24.686952
    Oben rechts KachelX + 1 12018 KachelY 14064 -0.83717001 0.43086860 -47.966308 24.686952
    Unten links KachelX 12017 KachelY + 1 14065 -0.83736176 0.43069437 -47.977295 24.676970
    Unten rechts KachelX + 1 12018 KachelY + 1 14065 -0.83717001 0.43069437 -47.966308 24.676970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43086860-0.43069437) × R
    0.000174229999999997 × 6371000     		dl = 1110.01932999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43086860-0.43069437) × R
    0.000174229999999997 × 6371000     		dr = 1110.01932999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83736176--0.83717001) × cos(0.43086860) × R
    0.000191749999999935 × 0.90860331284959 × 6371000     		do = 1109.98546965671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83736176--0.83717001) × cos(0.43069437) × R
    0.000191749999999935 × 0.908676067990292 × 6371000     		du = 1110.07435019223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43086860)-sin(0.43069437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90860331284959-0.908676067990292)×R²
    abs(-0.83717001--0.83736176)×7.2755140702041e-05×R²
    0.000191749999999935×7.2755140702041e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.2755140702041e-05×40589641000000     		ar = 1232154.66001144m²