Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120169 / 119273
↖ ↑ ↗
← S 81.298769°
E150.054016°		 ← 46.20 m → S 81.298769°
E150.056762°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
S 81.299185°
E150.054016°		 ← 46.19 m →
2 137 m²		 S 81.299185°
E150.056762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916820526123047 y=0.909984588623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916820526123047 × 217)
    floor (0.916820526123047 × 131072)
    floor (120169.5)     		tx = 120169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909984588623047 × 217)
    floor (0.909984588623047 × 131072)
    floor (119273.5)     		ty = 119273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120169 / 119273 ti = "17/120169/119273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120169/119273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120169 ÷ 217
    120169 ÷ 131072     		x = 0.916816711425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119273 ÷ 217
    119273 ÷ 131072     		y = 0.909980773925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916816711425781 × 2 - 1) × π
    0.833633422851562 × 3.1415926535     		Λ = 2.61893664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909980773925781 × 2 - 1) × π
    -0.819961547851562 × 3.1415926535     		Φ = -2.57598517488296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61893664} λ = 2.61893664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57598517488296))-π/2
    2×atan(0.0760788349093055)-π/2
    2×0.0759325613957114-π/2
    0.151865122791423-1.57079632675     		φ = -1.41893120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61893664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.054016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41893120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.298769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120169 KachelY 119273 2.61893664 -1.41893120 150.054016 -81.298769
    Oben rechts KachelX + 1 120170 KachelY 119273 2.61898457 -1.41893120 150.056762 -81.298769
    Unten links KachelX 120169 KachelY + 1 119274 2.61893664 -1.41893846 150.054016 -81.299185
    Unten rechts KachelX + 1 120170 KachelY + 1 119274 2.61898457 -1.41893846 150.056762 -81.299185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41893120--1.41893846) × R
    7.25999999984239e-06 × 6371000     		dl = 46.2534599989959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41893120--1.41893846) × R
    7.25999999984239e-06 × 6371000     		dr = 46.2534599989959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61893664-2.61898457) × cos(-1.41893120) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151282054910862 × 6371000     		do = 46.1957953901807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61893664-2.61898457) × cos(-1.41893846) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15127487846485 × 6371000     		du = 46.193603976058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41893120)-sin(-1.41893846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151282054910862-0.15127487846485)×R²
    abs(2.61898457-2.61893664)×7.1764460128354e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.1764460128354e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.1764460128354e-06×40589641000000     		ar = 2136.66469402874m²