Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120147 / 119259
↖ ↑ ↗
← S 81.292950°
E149.993592°		 ← 46.23 m → S 81.292950°
E149.996338°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
S 81.293366°
E149.993592°		 ← 46.22 m →
2 138 m²		 S 81.293366°
E149.996338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916652679443359 y=0.909877777099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916652679443359 × 217)
    floor (0.916652679443359 × 131072)
    floor (120147.5)     		tx = 120147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909877777099609 × 217)
    floor (0.909877777099609 × 131072)
    floor (119259.5)     		ty = 119259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120147 / 119259 ti = "17/120147/119259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120147/119259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120147 ÷ 217
    120147 ÷ 131072     		x = 0.916648864746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119259 ÷ 217
    119259 ÷ 131072     		y = 0.909873962402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916648864746094 × 2 - 1) × π
    0.833297729492188 × 3.1415926535     		Λ = 2.61788203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909873962402344 × 2 - 1) × π
    -0.819747924804688 × 3.1415926535     		Φ = -2.57531405828828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61788203} λ = 2.61788203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57531405828828))-π/2
    2×atan(0.0761299098146084)-π/2
    2×0.0759833421849945-π/2
    0.151966684369989-1.57079632675     		φ = -1.41882964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61788203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.993592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41882964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.292950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120147 KachelY 119259 2.61788203 -1.41882964 149.993592 -81.292950
    Oben rechts KachelX + 1 120148 KachelY 119259 2.61792996 -1.41882964 149.996338 -81.292950
    Unten links KachelX 120147 KachelY + 1 119260 2.61788203 -1.41883690 149.993592 -81.293366
    Unten rechts KachelX + 1 120148 KachelY + 1 119260 2.61792996 -1.41883690 149.996338 -81.293366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41882964--1.41883690) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dl = 46.2534600004105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41882964--1.41883690) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dr = 46.2534600004105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61788203-2.61792996) × cos(-1.41882964) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151382445239611 × 6371000     		do = 46.2264507847598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61788203-2.61792996) × cos(-1.41883690) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151375268905177 × 6371000     		du = 46.2242594047089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41882964)-sin(-1.41883690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151382445239611-0.151375268905177)×R²
    abs(2.61792996-2.61788203)×7.17633443453325e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.17633443453325e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.17633443453325e-06×40589641000000     		ar = 2138.08261292929m²