Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120145 / 119241
↖ ↑ ↗
← S 81.285463°
E149.988098°		 ← 46.28 m → S 81.285463°
E149.990845°		 →
↑
46.32 m
↓
↑
46.32 m
↓
S 81.285879°
E149.988098°		 ← 46.27 m →
2 143 m²		 S 81.285879°
E149.990845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916637420654297 y=0.909740447998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916637420654297 × 217)
    floor (0.916637420654297 × 131072)
    floor (120145.5)     		tx = 120145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909740447998047 × 217)
    floor (0.909740447998047 × 131072)
    floor (119241.5)     		ty = 119241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120145 / 119241 ti = "17/120145/119241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120145/119241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120145 ÷ 217
    120145 ÷ 131072     		x = 0.916633605957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119241 ÷ 217
    119241 ÷ 131072     		y = 0.909736633300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916633605957031 × 2 - 1) × π
    0.833267211914062 × 3.1415926535     		Λ = 2.61778615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909736633300781 × 2 - 1) × π
    -0.819473266601562 × 3.1415926535     		Φ = -2.57445119409512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61778615} λ = 2.61778615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57445119409512))-π/2
    2×atan(0.0761956279366457)-π/2
    2×0.0760486812900607-π/2
    0.152097362580121-1.57079632675     		φ = -1.41869896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61778615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.988098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41869896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.285463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120145 KachelY 119241 2.61778615 -1.41869896 149.988098 -81.285463
    Oben rechts KachelX + 1 120146 KachelY 119241 2.61783409 -1.41869896 149.990845 -81.285463
    Unten links KachelX 120145 KachelY + 1 119242 2.61778615 -1.41870623 149.988098 -81.285879
    Unten rechts KachelX + 1 120146 KachelY + 1 119242 2.61783409 -1.41870623 149.990845 -81.285879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41869896--1.41870623) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dl = 46.3171700000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41869896--1.41870623) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dr = 46.3171700000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61778615-2.61783409) × cos(-1.41869896) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151511617894655 × 6371000     		do = 46.275548014042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61778615-2.61783409) × cos(-1.41870623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151504431819335 × 6371000     		du = 46.2733532016696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41869896)-sin(-1.41870623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151511617894655-0.151504431819335)×R²
    abs(2.61783409-2.61778615)×7.18607532029791e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.18607532029791e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.18607532029791e-06×40589641000000     		ar = 2143.30159533734m²