Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120137 / 119881
↖ ↑ ↗
← S 81.547793°
E149.966126°		 ← 44.88 m → S 81.547793°
E149.968872°		 →
↑
44.92 m
↓
↑
44.92 m
↓
S 81.548197°
E149.966126°		 ← 44.88 m →
2 016 m²		 S 81.548197°
E149.968872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916576385498047 y=0.914623260498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916576385498047 × 217)
    floor (0.916576385498047 × 131072)
    floor (120137.5)     		tx = 120137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914623260498047 × 217)
    floor (0.914623260498047 × 131072)
    floor (119881.5)     		ty = 119881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120137 / 119881 ti = "17/120137/119881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120137/119881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120137 ÷ 217
    120137 ÷ 131072     		x = 0.916572570800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119881 ÷ 217
    119881 ÷ 131072     		y = 0.914619445800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916572570800781 × 2 - 1) × π
    0.833145141601562 × 3.1415926535     		Λ = 2.61740266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914619445800781 × 2 - 1) × π
    -0.829238891601562 × 3.1415926535     		Φ = -2.60513080985195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61740266} λ = 2.61740266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60513080985195))-π/2
    2×atan(0.0738934705713791)-π/2
    2×0.0737594173253183-π/2
    0.147518834650637-1.57079632675     		φ = -1.42327749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61740266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.966126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42327749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.547793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120137 KachelY 119881 2.61740266 -1.42327749 149.966126 -81.547793
    Oben rechts KachelX + 1 120138 KachelY 119881 2.61745059 -1.42327749 149.968872 -81.547793
    Unten links KachelX 120137 KachelY + 1 119882 2.61740266 -1.42328454 149.966126 -81.548197
    Unten rechts KachelX + 1 120138 KachelY + 1 119882 2.61745059 -1.42328454 149.968872 -81.548197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42327749--1.42328454) × R
    7.05000000000844e-06 × 6371000     		dl = 44.9155500000538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42327749--1.42328454) × R
    7.05000000000844e-06 × 6371000     		dr = 44.9155500000538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61740266-2.61745059) × cos(-1.42327749) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.14698437259081 × 6371000     		do = 44.8834463922176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61740266-2.61745059) × cos(-1.42328454) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.146977399158515 × 6371000     		du = 44.8813169707761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42327749)-sin(-1.42328454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14698437259081-0.146977399158515)×R²
    abs(2.61745059-2.61740266)×6.97343229444369e-06×R²
    4.79299999995852e-05×6.97343229444369e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×6.97343229444369e-06×40589641000000     		ar = 2015.91685847699m²